Index : les fonctions.

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FONCTIONS NUMERIQUES

I. GENERALITES

Le langage courant utilise souvent le terme "fonction :

"Le prix du plein de carburant est fonction de la quantité versée"

"La pression atmosphérique est fonction de l'altitude"

Dans ces expressions, on veut indiquer qu'une grandeur dépend d'une autre. En mathématiques, l'outil "fonction" sert également à exprimer une telle dépendance mais également comment les deux grandeurs varient.

I.1. DEFINITION

Soit I une intervalle de l'ensemble des nombres réels(Ensemble noté R), une fonction numérique est une relation qui associe à tout élément x de I, un nombre réel f(x) au plus.

On note ¦ : I®R

x ® f(x)

x est la variable et ¦(x) est l'image de x. on note y=¦(x)

L'ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition de ¦.

I.2. REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION

La représentation graphique d'une fonction f dans un repère orthonormé( ce qui signifie : même unité graphique sur les deux axes et axes perpendiculaires) , est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

On dit que y=¦(x) est une équation cartésienne de¦.

I.3. SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION

Si pour tous nombres x₁ et x₂ d'un intervalle I=[a ; b] tels que x₁ <x₂ on a :

v ¦(x₁) < ¦(x₂) alors la fonction est croissante sur I

v ¦(x₁) > ¦(x₂) alors la fonction est décroissante sur I

v ¦(x₁) = ¦(x₂) alors la fonction est constante sur I

Tableau de variation : Une flèche indique le sens de variation de ¦ sur [a;b]

Cas d'une fonction ¦ croissante sur [a ; b]

x	a b
¦

+Exercice n°1

La représentation graphique ci-dessous, permet d'analyser le profit durant les phases constituant le cycle de vie d'un produit.

Unités des axes : en abscisses : 1 mm pour 1 mois

En ordonnée : 1 mm pour 10⁶ F

1°) Recopier et compléter le tableau de variations ci dessous

2°) Déterminer graphiquement : a) la durée nécessaire pour atteindre un profit maximal

b) Le profit maximal M

c) La durée de vie du produit.

3°) Que se passe t-il : lors des 30 premiers mois ? au bout de 82 mois ?

+Exercice n°2

La courbe c-dessous représente la consommation en oxygène (V_O2) au cours d'un exercice sportif et de la période de récupération qui le suit.

Donner le tableau de variation de V_O2 (en L/min) en fonction du temps t (en min).

II. LES FONCTIONS USUELLES

II.1. FONCTIONS AFFINES

Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie par une expression de la forme : ¦(x) = ax + b avec a et b nombres réels

Représentations graphiques

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique est une droite d'équation y = ax + b, a est le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine.

Exemple soit ¦(x) = 2x + 3, comme la représentation graphique est une droite, il suffit d'avoir les coordonnées de deux points pour pouvoir la tracer. On calcule donc les coordonnées de deux points.

Pour x = 0 on a ¦(0) = 2 ´ 0 + 3 = 3, la droite passera donc par le point A(0;3)

Pour x = 1 on a ¦(1)= 2 ´ 1 + 3 = 2 + 3 = 5, la droite passera par le point B( 1 ; 5)

La représentation graphique est donc ( j'ai choisi l'intervalle [-10;10] pour cet exemple) :

+Exercice n°3

1°) Représenter graphiquement les fonctions ¦(x) = -2x + 8 et g(x) = 0.5 x +3 sur l'intervalle [-5 ; 5 ]

Que constatez-vous ?

Détermination d'équation de droites

Le coefficient directeur a d'une droite D passant par deux points de coordonnée (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) est donné par la relation :

Le coefficient directeur d'une droite permet de calculer de combien varie y lorsque x augmente de 1.

Lorsque le coefficient directeur de la droite est connu, il faut déterminer b.

Pour cela on utilise les coordonnées d'un des deux points, en effets (x₁ ; y₁) étant sur la droite ses coordonnées vérifient l'équation y =ax + b avec les valeurs y = y₁ et x= x₁ donc

donc :

+Exercice n°4

1°) Déterminer l'équation de la droite passant par les points A(2 ; 5) et B( 3 ; 8 ).

2°) Déterminer l'équation de la droite passant par les points A(1 ; 5) et B( 2 ; -10 ).

3°) Déterminer l'équation de la droite passant par les points A(4 ; 2) et B( 3 ; 0,5 ).

II.2. LES AUTRES FONCTIONS USUELLES

Pour le moment, n'ayant pas l'outil dérivée à votre disposition, les fonctions suivantes sont traceès à partir d'un tableau de valeurs.

Fonction ¦ : x Õ ax²

La représentation graphique est une parabole, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemples

+Exercice n°5

Donner le tableau de variations de chacune des deux fonctions précédentes.

Fonction ¦ : x Õ

Fonction ¦ : x Õ

La représentation graphique est une hyperbole, l'hyperbole présente une symétrie par rapport à l'origine du repère.

Pour les grande valeurs de x, ou de y, la courbe se rapproche des axes du repère : on dit que les axes sont des asymptotes de la courbe.

+Exercice n°6

Donner le tableau de variations de chacune des deux fonctions précédentes.

III. COURBES REPRESENTATIVES ET OPERATIONS SUR LES FONCTIONS

III.1. REPRESENTATIONS GRAPHIQUE DE LA SOMME DE DEUX FONCTIONS

But : on veut pouvoir déduire la courbe représentative de la somme de deux fonctions à partir de la représentation des courbes des deux fonctions en question.

Prenons un exemple, soit deux fonctions : ¦(x) = 2x et g(x) = x²

La somme des deux fonctions h s'écrit : h(x) = ¦(x) + g(x) = 2x+ x² .

La courbe représentative de ¦ est constituée par les points de coordonnées : ( x ; ¦(x)) = (x ; 2x)

La courbe représentative de g est constituée par les points de coordonnées : ( x ; g(x)) = (x ; 4x)

La courbe représentative de h est constituée par les points de coordonnées : ( x ; h(x)) = (x ; 2x+x²)

Donc : pour avoir l'ordonnée du point correspondant à l'abscisse x, il suffit de faire la somme des ordonnées des points des courbes ¦ et g d'abscisses x.

III.2. REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION MULTIPLIEE PAR UNE CONSTANTE.

Pour obtenir la courbe représentative de la fonction a ´ ¦ à partir de celle de f, il suffit pour chaque abscisse x de multiplier ¦(x) par le nombre a. La courbe représentative de la fonction a ´ ¦ est constituée des points de coordonnées (x ; a ´ ¦(x)).

IV. INTERPRETATION GRAPHIQUE DE ¦>0 et ¦>g

Graphiquement, ¦>0 signifie que l'on veut avoir les valeurs de x pour lesquelles ¦(x) >0; ceci est vraie pour les points de la courbe représentative de la fonction ¦ situés au dessus de l'axe des abscisses.

Graphiquement ¦ > g signifie que l'on veut avoir les valeurs de x pour lesquelles ¦(x) > g(x) ; ceci est vraie pour les points de la courbes représentative de ¦ qui sont au dessus des points de la courbe représentative de g