|
Réponse 3,45 ²
=11,9025 Solution
2 : On
utilise la calculatrice, on tape la multiplication 3,45 Attention : le point remplace la virgule ! ! ! ! !On tape successivement : |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
. |
4 |
5 |
|
3 |
. |
4 |
5 |
= |
Lecture
d’écran : 11 . 9025 |
||||||||||||||||
|
Réponse 3,45 ² = 11,9025 Solution 3 : On
utilise la calculatrice , on
se sert de la touche x ² On peut calculer le « carré » d’un nombre
« x » avec la
calculatrice avec la touche : x² Exemple 3: calculer
x² avec x =
13, 24 soit x ²
= 13,24 ² On tape sur les
touches successivement : Attention : le point remplace la virgule ! ! ! ! |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
. |
2 |
4 |
x² |
= |
175.2976 |
|||||||||||||||||||
|
175. 2976 ,lorsque l’on
reportera le résultat il faut
remplacer le point par la virgule . On écrira donc : 13, 24 ² = 175,2976 APPLICATIONS courantes : (@ info plus) @ ► Les
unités :
(1 1
m) fois ( 1 1 m) = (1 1 m ) ( 1 1 m ) = 1
² 1 m ²
= 1 m ²
ce
qui fait dire que : si
l’on multiplie des mètres par des mètres on obtient des mètres carrés
que l’on note m m =
m² ►
Aire du carré :
A = c² ; si « c » = 3
m alors c² = ( 3 m ) ² soit
A = 9 m² ►
Aire d’un disque : A =
3,14 R² ; si
R = 3 m alors A
= 3,14 3 m
3 m ;
A = 28,26 m² |
||||||||||||||||||||||||||
|
i9 @ |
||||||||||||||||||||||||||
|
Définition : Le
« cube d’un nombre »
est le produit de trois facteurs
(@) égaux à ce nombre .
Exemple : l’ écriture « 3 3 » devient le double produit de 3 au lieu
d’écrire 3
Calculs : On doit faire une double multiplication : Exemple
:pour 5 3 on calcule d’abord 5 fois 5 (= 25) , puis on multiplie le
résultat « 25 » par
5 ; = 125 Ainsi : 5 3 = 5 |
||||||||||||||||||||||||||
|
énoncé |
traduction |
Résultat
des calculs |
||||||||||||||||||||||||
|
5 3 |
5 |
125 |
||||||||||||||||||||||||
|
3,2 3 |
3,2 |
32,768 |
||||||||||||||||||||||||
|
APPLICATIONS courantes : (@ info plus) @ ► Les
unités : (on reverra la notion sur la « grandeur ») @ (1
= 1 3 ce
qui fait dire que : si
l’on multiplie des mètres par des mètres par des mètres on obtient des mètres « cubes »
que l’on note m ►
Volume du cube : V
= c 3 ; si
« c » = 3 m
alors c3 = ( 3 m )3 soit
V = 27 m 3 ►
volume d’une sphère : V =
(4/3 ) 3,14 R 3 ;
si R = 3 m alors
V = (4/3 ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
Chapitre 3 : Info + sur : « Les Carrés d’opérations
simples ». |
||||||||||||||||||||||||||
|
Commentaire :
Il faut travailler la leçon :
« Les Carrés d’opérations simples ». (découverte des I.R.
Identités Remarquables) @ pour obtenir le niveau V On se
souviendra que lorsque l’on applique
le théorème de Pythagore on obtient obligatoirement une équation de la forme : a ² =
b ² + c ² qui
débouche sur l’extraction d’une racine carrée. |
C d info ++++@ |
|||||||||||||||||||||||||
|
Chapitre 4 :
Info + sur : Les
formules sur les puissances |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Les formules suivantes sont données pour
information |
C d info ++++@ |
|||||||||||||||||||||||||
|
Formules |
Appliquées
aux nombres décimaux@ |
Appliquées
aux puissances de dix. @ |
||||||||||||||||||||||||
|
( x n )p = x
n |
( 3
2 )5 = 3 2 |
( 10
2 )3 = 10
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x n
|
3 2
|
10 2
|
||||||||||||||||||||||||
|
x n
|
3 3
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Pour plus
d’informations sur ces formules cliquer sur C d info ++++@ |
||||||||||||||||||||||||||
|
i9 @ |
:iINFO plus CD ³ ! 3@ |
||||||||||||||||||||||||
|
Cette écriture permet de ne pas être obliger d’écrire des grands
nombres (qui est une source d’erreurs) Exemple : au lieu
d’écrire 100000 on écrit
1 Cette
écriture est la traduction des calculs
en chaîne de « 10 Le
résultat est obtenu en faisant
le produit de 5 facteurs égaux à
« 10 ». 10 Ainsi :
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Ecriture simplifiée |
|
Qui correspond à la multiplication |
|
Forme décimale : |
||||||||||||||||||||||
|
Si l’exposant est
« 5 » |
Þ |
On a 5 facteurs identiques qui est « 10 » |
Þ |
5 zéros derrière le « 1 » |
||||||||||||||||||||||
|
10 5 |
= |
10 |
= |
100 000 |
||||||||||||||||||||||
|
Commentaire : cette écriture est une forme simplifiée de
la multiplication d’un nombre par lui -même .Elle diminue le risque de
transcription d’une longue multiplication. Il est plus simple d’écrire « 10 5 » que « 10 Exemples
: |
||||||||||||||||||||||||||
|
100
= 1 ( par convention ) 10² = 10 103
= 10 |
104 = 1
0000 ( un 1 suivi de 4
« 0 ») = 10 mille 105 =
100 000 ( un 1 suivi de 5
« 0 ») = 100 mille 106 = 1
000 000 ( un 1 suivi de 7
« 0 ») = 1 million@ |
|||||||||||||||||||||||||
|
GENERALISATION : Par définition : |
||||||||||||||||||||||||||
|
Ecriture simplifiée |
|
Qui correspond à la multiplication |
|
Forme décimale : |
||||||||||||||||||||||
|
L’exposant est « n » |
= |
« n » facteurs
égaux à 10 |
= |
« n »
zéros |
||||||||||||||||||||||
|
10 n |
= |
10 |
= |
« 1 » suivi de « n » zéros |
||||||||||||||||||||||
|
Exemple : 106
= 1 000 000 ( un 1 suivi de 7 « 0 ») = 1 million ( Voir sur C d : applications : les volumes @) et les aires@ Cas particuliers : 10 0 = 1 et
101 = 10 Cas des puissances négatives : On a également : transformation en forme décimale . |
||||||||||||||||||||||||||
p
|
On écrit : |
« Se lit » |
« peut s’écrire sous forme de
produit » |
Représente le nombre décimale. |
|
|
= 1 divisé par 10 |
= 1 ´ 10-1 |
= 0,1 |
|
|
= « 1 divisé par 100 » |
= 1 ´ 10-2 |
= 0 ,01 |
|
|
= 1 divisé par 1000 |
= 1 ´ 10-3 |
= 0,001 |
|
; e t c….. l’exposant
« négatif » indique le
numéro du rang du chiffre
« 1 » à mettre après la virgule . Exemple : Ecrire 10 –5 sous forme décimale = 0,000 01 ; Le « 1 » se trouve au 5ème rang . |
|||
|
i9 @ |
@:i |
|||||||||||||
|
Dans l’écriture
scientifique , la partie entière du
nombre @ décimal
« a » ne contient qu’un chiffre @ |
||||||||||||||
|
Par définition L’écriture scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre sous
d’une multiplication de la forme « a |
||||||||||||||
|
¶ Savoir
passer d’une écriture sous forme
décimale à une écriture dite
« scientifique » Exemple 1 : Ecrire sous forme scientifique le
nombre 90
000 Le nombre
décimal 90 000 se décompose sous la forme 9 Exemple
2 : Ecrire sous forme scientifique le
nombre 135
000 : 135 000 = ; On
a 135 000 = 1,35 · Savoir passer d’une forme
scientifique à une écriture décimale Exemple : Donner la forme décimale de l’écriture scientifique 7,53 ► 7,53 iRemarque : les calculatrices
ne peuvent afficher l’écriture scientifique d’un nombre. On lit sur l’écran
3.69 03 = 3,69 ( Il faut
savoir « traduire » l’affichage d’écran de la calculatrice , elle n’est pas
normalisée , c’est une écriture « fabriquant » qui n’est pas en
règle avec l’écriture mathématique). iIntérêt de cette écriture Exemple on veut calculer
90 000 ´ 1 20
000 Avant de faire ce calcul on transforme : 90 000 s ‘écrit 9´ 105 et 120 000 s’écrit 1,2 ´ 105 On transforme les écritures décimales en
écriture « scientifique » 90 000
´ 1 20 000
devient 9´ 105
´ 1,2 ´ 105
= 9´ 1,2 ´ 105 ´ 105
= 10,8 ´ 10 5+5
=10,8 ´ 10 10 soit 90 000
´ 1 20 000 = 10,8
´ 10 10 soit
10 800 000 000 0 ( pour savoir plus sur ce type de
calcul cliquer ici ³ ) @ En écriture ingénieur @ on aurait écrit : 108 ´ 10 9 ;l’exposant de la puissance de « 10 » doit être « 3 » ou un multiple de « 3 » .Le nombre « a » doit être compris entre 1 £ a < 1000 |
||||||||||||||
|
i9 @ |
:1i @ ;:2i@ |
|||||||||||||
3°) Un nombre
« incommensurable »
|
@ info @
|
|||||||||||||
Exemple :
Si l’on mesure la
diagonale « d » d’un carré
en prenant comme unité de mesure le côté « a », on ne trouve aucune
partie de l’unité « a » contenue un nombre exact de fois dans
« d » , on dit qu’il n’y a pas de « commune » mesure entre « d » et « a » ,
le résultat de la mesure est un nombre incommensurable . Dans le cas de la
figure ce nombre est Dans la pratique des
opérations , on se contente d’une
mesure approchée de la grandeur donnée et l’approximation varie avec
la nature de la mesure à effectuer. |
|
|||||||||||||
|
Définition : La racine carrée de « a » est
le nombre qui , élevé au carré , donne « a ». Notation :
|
||||||||||||||
|
Pour obtenir la racine carrée d’un nombre on utilise nos connaissances On
dispose de 4 possibilités « on reconnaît un carré
parfait » autrement on se sert généralement de la calculatrice ;
par ailleurs , il existe la table numérique (³@) ; en dernier ressort on
peut faire ce calcul
« particulier » ,on dit que l’on va : «
extraire la racine(³@) ». En
règle générale , on utilise la
calculatrice : pour
obtenir la valeur d’une racine carrée
il suffit de taper sur la touche Exemples : Exercice
1 : Donner la racine carrée de 49 . ( notée 1ère
solution : par déduction On sait
que 49 est le carré parfait de 7@ ( 7 2ème solution : On
utilise la calculatrice : on tape : |
||||||||||||||
|
|
4 |
9 |
= |
on lit à l’écran 7 |
||||||||||
|
Exercice
2 : Donner la racine carrée de 29
(notée 29 n’est pas un carré parfait , on doit utiliser la calculatrice On tape on lit à l’écran (
suivant le type de calculatrice): |
||||||||||||||
|
|
2 |
9 |
= |
5,38516480713450403125071049154033…… |
||||||||||
|
La valeur arrondie de Il est
conseillé de comparer le résultat affiché avec le résultat donné dans une table numérique. @ Celle ci donne pour
|
||||||||||||||
|
Document : table des puissances et racines « carrées » . |
: Cliquer ici @³ une
table numérique. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
· Ecritures équivalentes : 
= 
= 
· Si a ³ 0 , alors désigne le seul nombre qui a pour carré « a ».
Exemples
« 16 » est
un nombre positif , le nombre positif qui a pour « carré » « 16 » est
« 4 ».
On sait que : (
4² =
4 ´ 4 = 16 ) ;
On dit que « 4 » est la racine carrée de
« 16 » et on écrit : 
= 4
21 est un nombre
positif , sa racine carrée n’est ni un nombre entier ni un nombre décimal , ni
une fraction , on l’écrit : 
iCe nombre
qui n’est ni un nombre entier , ni un
nombre décimal , ni une fraction est appelé : nombre « irrationnel ». @
· Si a ³ 0 , alors
()
² = a
· Si a ³ 0 , alors
est la solution positive de l’équation x² = a
Conséquences :
· Si k ³ 0 , alors 
= k et , si k
£ 0 , alors
= - k
Exemple : ( + 4 ) ² = (+16 ) et ( - 4 )² = ( + 16 ) aussi
si l’on fait la racine carré du nombre
relatif ( +16) : on trouve deux solutions possibles :
= ( + 4 ) ou ( - 4)
· Si a ³ 0 et
b > 0 alors
- Le produit de deux
racines carrées est égal à la racine carrée des produits
´ 
= 
( = 
)
Exemple :
´ 
= 
= 
=
( 3 ´ 10 = 30)
· Si a ³ 0 et
b > 0 alors
La racine carrée d’un
quotient est égale au quotient des racines carrées
Exemple 
· L’équation x² = a
- Si a < 0, elle n’a pas de
solution.
- Si a = 0, elle a pour seul solution « 0 » .
- Si a > 0, elle a deux solutions + 
et -.
|
Leçon |
Titre |
|
N°4 |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur « PUISSANCES » et « RACINES » avec des nombres décimaux positifs . ( D +) |
1°) A quoi est égal le carré d’un nombre ?
2°) A quoi est égal le cube d’un nombre ?
3°) A quelle opération correspond
l’écriture 10 n, et quelle forme décimale prendra- t il
?
4°) A quoi correspond l’écriture scientifique
(quelle forme ?)
5°) Qu’est ce que la « racine carré d’un
nombre » ? Comment la note t-on ?
6°) Par quel moyen peut-on connaître la racine
carrée d’un nombre ?
TRAVAUX N° 4 d ‘ AUTO -
FORMATION EVALUATION
CARRE :
Série 1 : calculer les carrés des nombres
suivants :
|
|
résultat |
|
|
Résultat |
|
1² = |
|
5² = |
|
|
|
4² = |
|
8² = |
|
|
|
7² = |
|
10 ² = |
|
|
|
9² = |
|
6² = |
|
|
|
3² = 9 |
|
2² = |
|
Remarque : le carré d’un nombre entier est appelé
« ……………….. »
Série 2 : calculer les carrés des nombres
suivants
|
601 ² = |
|
|
0,63 ² = |
|
|
79,76 ² = |
|
0,247² = |
|
|
|
7,459 ² = |
|
0,99 ² = |
|
Série 3 :
Compléter le tableau L calculer.
|
X |
3 |
13 |
15,7 |
3,5 |
0,5 |
0,1 |
|
X² |
|
|
|
|
|
|
Série 4 : Ecrire
les puissances sous forme de produit :
|
7,4² = |
25² = |
0,2² = |
Série 5 : Remplir le tableau suivant : (On
retrouvera les calculs suivants pour
faire la représentation graphique des fonctions)
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5x2
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CUBE :
Série 1 :
Calculer :
|
13 = |
|
|
43 = |
|
|
23 = |
|
53 = |
|
|
|
33 = |
|
103 = |
|
Série
2 ;
|
|
Calcul à
la main |
A la
calculatrice .arrondir évent. au millième |
|
43 = |
|
|
|
0,53 = |
|
|
|
6,253 = |
|
|
|
1,193 = |
|
|
|
0,833 = |
|
|
|
72,53 = |
|
|
|
132, 43
= |
|
|
Série 3 : Compléter le tableau
|
X |
2 |
3 |
10 |
15 |
4,5 |
0,5 |
0,1 |
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
Série 1 : donner l’écriture décimale des nombres
suivants :
(
exemple : 2
10
-2 =20,01
= 0,02
)
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1,32 |
|
|
7 |
|
|
4,5 |
|
Série 2 : donner l’écriture décimale des nombres
suivants :
(
exemple : 210
3 =21
000 = 2000 )
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1,32 |
|
|
7 |
|
|
4,5 |
|
Série 3 : les nombres suivants sont lus sur l’écran
d’une calculatrice . Donner pour chacun d’eux l’écriture scientifique , puis
l’écriture décimale .
|
Ecran |
l’écriture scientifique |
l’écriture décimale |
|
Ex. 5,1302 |
= 5,13 |
= 513 |
|
1,504 |
|
|
|
7,3503 |
|
|
|
9,0405 |
|
|
2ème
partie :
1°) Cochez Vrai ou
Faux
|
|
|
Vrai |
Faux |
|
1. |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
3. |
3 < |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
5. |
L’opposé de |
|
|
|
6. |
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
8. |
( |
|
|
)42° ) Souligner les écritures
qui désignent le nombre 5 et
encadrez celles qui désignent le nombre
- 5
; - ;
;
;
( 
)² ; (
)² ;
(-)² ;
3°) Répondez et justifiez :
les nombres suivants sont-ils égaux ? OUI ou NON
;
;
; 
4° ) Cochez la bonne
réponse /
quelle est ou quelles
sont les ou la solution des équations suivantes ?
|
Equations |
A |
B |
C |
|
|
1°) |
( |
7 |
|
49 |
|
2°) |
x² = 7 |
7 et -7 |
|
49 |
|
3°) |
|
7 et -7 |
|
49 |
|
4°) |
|
7 et -7 |
|
49 |
)
²
5°) Compléter les pointillés par un nombre entier ou
décimal :
|
|
Calculs : |
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Ecriture
scientifique :
Série 1 : Donner l’écriture scientifiques des nombres
suivants :
|
|
Passage intermédiaire
|
Ecriture scientifique |
|
Ex. 1653 = |
1,653 |
= 1,653 |
|
346,3 = |
|
|
|
7 000 = |
|
|
|
20 000 = |
|
|
|
542 000 = |
|
|
Série 2 : Pour les nombres suivants , passer de
l’écriture scientifique à l’écriture décimale .
|
Ecriture scientifique |
Passage
intermédiaire |
Ecriture décimale |
|
Ex. 5,24 |
5,24 |
= 524 |
|
3,4 |
|
|
|
6,467 |
|
|
|
9,674 |
|
|
|
1,135 |
|
|
Série 3 : Pour les nombres suivants , passer de
l’écriture scientifique à l’écriture décimale .
|
Ecriture scientifique |
Passage
intermédiaire |
Ecriture décimale |
|
Ex. 5,24 |
5,24 : 100 |
= 0,0524 |
|
3,4 |
|
|
|
6,4 |
|
|
|
9,67 |
|
|
|
1,135 |
|
|
Série 4 : Ecrire les nombres suivants en écriture
scientifique .
|
1675,73 |
|
|
0 ,03 |
|
|
0,007 89 |
|
|
79 632 |
|
|
52,704 |
|
|
0,000 3 |
|
Série 5 : Ecrire les nombres suivants en écriture scientifique
.( puissances négatives)
|
0,054 |
|
|
0,000 01 |
|
|
0,379 |
|
|
0,000 67 |
|
|
0,31 |
|
|
0,007 3 |
|
RACINES
CARREES :
Série 1 . Calculer les racines carrées suivantes : (
sans calculatrice)
|
|
Résultat |
|
|
Résultat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Série 2 : Calculer les racines carrées suivantes . 5on
utilisera la touche 
de la calculatrice . Faire la vérification (
le carré du résultat)
|
|
|
|
|
|
Série 3 : Calculer les racines carrées suivantes , on
utilisera la touche 
de la calculatrice . , on arrondira au 0,01
près.
|
|
|
|
|
|
Série 4 : Calculer les racines carrées suivantes ,on
utilisera la touche de la calculatrice . , on arrondira au 0,001
près.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Série 5 :
Compléter le
tableau :
|
x |
5 |
6 |
1000 |
4,5 |
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Un récipient a la forme d’un cube constitué de 5 faces en verre de 150 mm de côté
.
1°) Calculer l’aire d’une face en mm²
.
2°) Donner l’écriture scientifique de ce résultat.
3°) Calculer le volume en mm3 .
4°) Le volume étant de 0,003 375 m3 , donner l’écriture scientifique de ce
résultat .
5°) Calculer la diagonale d’une face carrée. Par Pythagore .