Remarque:
on ne sait traiter que deux nombres à la fois.
|
Important
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cours du modules à étudier (niveau 5 ) |
Sujet
+ corrigé |
Devoir N°1
(sept ) : 3 ème collège
EVALUATION :
Calculer en détaillant
TOUTES les étapes :
A =
( - 5 ) x ( - 6 ) 
( + 3 ) + ( - 2) x ( + 4 )
B =
( - 5 ) + ( - 2 ) + ( + 3 ) + ( - 1 ) + ( + 4 )
C
= 40 – 7 – 6 x 2
D =
- 2 x 4 + 6 x ( - 5 )
E
= 12 – 2
x 5
F
= [ 30 – ( 3 + 7 x 2 ) ] - [ 28 –
( - 20 + 2 x 4 ]
G
= 7 – ( - 4 ) – 9
H
= ( - 2 ) – 5 + ( - 6 ) – ( - 3)
I
= 12 + ( - 42 ) – ( - 7 )
CORRIGE
avec explications :
Les expressions ne contiennent
pas de parenthèses :
Commentaire 1 : l’expression contient
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions:
A
= ( - 5 ) x ( - 6 ) ( + 3 ) + ( - 2) x ( +
4 )
Commentaire 2 : c’est une suite de calculs avec des nombres
entiers relatifs
|
Procédure : faire
dans l ‘ordre |
A = ( - 5 ) x ( - 6 ) |
|
1 ° )
Faire la (ou les ) division :
( - 6 ) |
A = ( - 5 ) x ( - 6 ) Devient : A = ( - 5 ) x ( - 2 ) + ( -
2) x ( + 4 ) |
|
2°) faire la ( ou
les ) multiplication : Il y a 2 multiplications à faire : ·
Calcul n°1 : ( - 5 ) x
( - 2 ) = (
+ ( 5 x 2 ) ) = ( + 10 ) et ·
Calcul n° 2 : ( -
2) x ( + 4 ) = ( - ( 2 x 4 ) ) = ( - 8 ) |
A = (
- 5 ) x ( - 2 ) + ( - 2) x ( + 4 ) Devient : A =
( + 10 )
+ ( - 2) x ( + 4 ) puis A =
( + 10 )
+ ( - 8 ) Commentaire 3
: il reste à faire l’addition de deux nombre de signe
contraire…… |
|
3° ) transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
On passe |
|
4° ) faire les
sommes des nombres de même
signe . (peu importe l’ordre) : |
On passe |
|
a) somme des positifs : |
|
|
b) somme des négatifs : |
On passe |
|
5° ) puis faire la somme des deux nombres de
signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 10 qui est la plus grande valeur absolue ,
donc le résultat sera du signe devant 10 soit
les signe « plus ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . ( + 10 ) + ( - 8 ) =
( + ( 10 – 8 ) ) = ( + ( 2 ) ) = |
|
|
A
= ( + 2 ) |
|
|
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6° )Rendre
compte |
A = ( - 5 ) x ( - 6 ) A
= ( + 2 ) |
B
= ( - 5 ) + ( - 2 ) + ( + 3 ) + ( - 1 ) + ( + 4 )
Commentaire : cette ’expression est
appelée « somme algébrique » elle ne contient
que des additions, de nombres entiers relatifs
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
|
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication |
On passe |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
On passe |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
( - 5 ) + ( - 2 ) + ( + 3 ) + ( - 1 ) + ( + 4 ) |
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : ( +
3 ) et ( + 4 ) |
( + 3 ) + ( + 4 )
= ( + ( 3 + 4 ) ) = (
+ ( 7) ) = ( + 7 ) |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : ( -
5 ) et ( - 2 ) et ( - 1 ) |
( - 5 ) + ( - 2 )
+ ( - 1 ) = ( -
( 5 + 2 + 1 ) ) = ( - ( 8 ) ) = ( - 8
) |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 8 qui est la plus grande valeur absolue , donc
le résultat sera du signe devant 8 soit les signe « moins ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . ( + 7 ) et (
- 8 ) |
|
|
( + 7 ) + ( - 8 )
= ( - ( 8 – 7 ) ) = ( - ( 1 ) ) = ( - 1 ) |
|
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7° ) Rendre
compte |
|
C = 40 – 7 – 6 x 2
Commentaire
: on observe
des signes « moins » et un signe « multiplier » qui sépare
des chiffres.
Commentaire :
Avant d’effectuer des calculs , c’est une expression algébrique , qu’il faut
transformer en « somme algébrique ».
L’expression algébrique : C = 40 – 7 – 6 x 2 devient la somme algébrique : C = (+40 ) + (– 7)
+ ( – 6) x ( + 2)
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
C = (+40 ) + (– 7)
+ ( – 6) x ( + 2) |
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication ( – 6) x ( +
2) =
( - ( 6 x 2 ) ) = ( - 12 ) ; que l’on remplace dans C |
C = (+40 ) + (– 7)
+( - 12 ) |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs ( fait au départ ) |
On passe |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
|
|
·
Somme des positifs : Liste des
nombres positifs : ( + 4 0 ) |
( + 40 ) |
|
·
Somme des négatifs : Liste des
nombres négatifs : ( -
7 ) et
( - 1 2 ) Soit : ( - 7 ) + (
- 1 2 ) = ( - ( 7 + 12 ) ) = (
- 19) , que je remplace dans « C » |
(– 7) +( - 12 ) = ( - 19 |
|
6° ) Puis faire
la somme des deux nombres de signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 40 qui est la plus grande valeur
absolue , donc le résultat sera du signe devant 40 soit les signe « plus ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . ( + 4 0 ) + ( - 19 ) = ( +
( 40 – 19 ) ) = ; ( + ( 21
) ) |
C = ( +
4 0 ) + ( - 19 ) |
|
C = ( +
21 ) |
|
|
|
|
|
7° ) Rendre
compte |
C = (+40 ) + (– 7)
+( - 12 ) Solution : C =
( + 21 ) |
D = - 2 x 4 + 6 x ( - 5 )
Commentaire
1 : D = - 2 x 4 + 6 x ( - 5 ) est une expression algébrique.
Commentaire
2 : il faut transformer D
= - 2 x 4 + 6 x ( - 5 ) devient ( - 2 ) x ( + 4 ) + ( + 6 ) x ( - 5 ) ;
on aurait pu écrire : ( - 2 ) ( + 4 ) +
( + 6 ) ( - 5 ) ; [ écriture
plus élégante ] …… et on aurait lit : ( - 2 ) facteur de ( + 4 ) plus ( + 6 ) facteur de ( - 5 )
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
|
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) 2 multiplication ( s) |
D = ( - 2 ) ( + 4 ) +
( + 6 ) ( - 5 ) |
|
( - 2 ) ( + 4 ) = ( - (
2 x 4 ) ) = ( - ( 8 )) = ( - 8 ) |
|
|
( + 6 ) ( - 5 ) = ( - ( 5 x 6 ) ) =
( - ( 30) ) = ( - 30 ) |
D = ( - 8 ) + ( - 30 ) |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
On passe |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
|
|
·
Somme des positifs : ( Liste des
nombres positifs : …………….) |
On passe |
|
Somme des
négatifs : ( Liste des
nombres négatifs : ( - 8 ) et ( - 30 ) ) |
D = ( - ( 8 + 30 ) ) D = ( - ( 38) ) |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* |
0n passe |
|
|
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|
7° ) Rendre
compte |
D = - 2 x 4 + 6 x ( - 5 ) =
( - 38 ) D = ( - 38 ) |
E = 12 – 2
x 5
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
E
= 12 – 2 x 5 |
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication : 2 x 5 =
10 |
E
= 12 – 10 |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
E
= ( + 12) + ( – 10 ) |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
On passe |
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : |
On passe |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : |
On passe |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 12 qui est la plus valeur absolue , donc le résultat sera du signe devant 12 soit les signe « plus ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . |
|
|
E
= ( + 12) + ( – 10 ) E
= ( +
( 12 – 10 ) ) E =
( + ( 2)) |
|
|
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|
|
7° ) Rendre compte : E = 12 – 2
x 5 |
E = ( + 2 ) |
F = [ 30 – ( 3 + 7 x 2 )
] -
[ 28 – ( - 20 + 2 x 4 ) ]
Commentaire 1 : Nous avons des
crochets séparés par un signe moins.
Soit deux expressions différentes.
Expression n°1 :
[ 30 – ( 3 + 7 x 2 )
]
Expression n°2 : [ 28 – ( - 20 + 2 x 4
]
Commentaire 2 : Avant de faire la « grande »
soustraction ; nous devons faire
tous les calculs dans chacune des deux expressions et réduire chaque expression
à un seul nombre .
Calcul sur l’expression n°1 : [ 30 – ( 3 + 7 x 2 ) ] , on supprime les crochets , l’expression
n°1 de vient : 30 – ( 3 + 7 x 2 )
Commentaire :
l’expression contient des nombres dans des parenthèses ; nous devons
effectuer les calculs contenus dans la parenthèse: ( 3
+ 7 x 2 )
Pour
comprendre : si on appelle A = 30 et B = (
3 + 7 x 2 ) ; on peut réduire l’expression
1 [ 30 – ( 3 + 7 x 2 ) ] à l’écriture [ A – B ]
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
B = ( 3 + 7 x 2 ) |
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication : 7 x 2 = 14
|
( 3 + 14 ) = |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs ( 3 + 14 ) = (
+ 3 ) + ( + 14 ) = ( + ( 3 + 14 ) ) = ( + 17) |
( + 17) |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
On passe |
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : |
On passe |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : |
On passe |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* |
On passe |
|
|
|
|
|
|
|
7° ) Rendre
compte : |
B = (
3 + 7 x 2 ) = ( + 17) |
Puisque
A = 30 et B = ( + 17)
Suite
du calcul sur l’expression 1 : 30 – ( 3 + 7 x 2 )
devient : [ A – B ] = 30
- ( + 17 ) ; c’est une
expression à transformer en somme…..
On
transforme , par étape , l’expression en somme :
= 30 - ( + 17 )
= ( + 30 ) – ( + 17 )
= ( + 30 ) + ( - 17 )
On
calcul la somme de deux nombres de signe contraire : =
= ( + 30 ) + ( - 17 )
= ( + ( 30
- 17 ) )
= ( + 13 )
En résumé : l’expression 1 : [ 30
– ( 3 + 7 x 2 ) ] devient ( + 13 )
Calcul de l’ expression
n° 2 : [ 28 –
( - 20 + 2 x 4 ) ]
Voir ci-dessus :
On pose A = 28 et B = (
- 20 + 2 x 4 ) ; on peut écrire que l’expression [ 28 –
( - 20 + 2 x 4 ) ] = [ A – B ]
Commentaire :
nous devons effectuer les calculs contenus dans la parenthèse: B = ( - 20 + 2 x 4 )
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
|
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication : 2 x 4 = 8 |
B = ( - 20 + 8 ) |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
B = ( - 20 + 8 ) devient ( (-20) + ( + 8) ) |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
On passe |
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : |
On passe |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : |
On passe |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* |
B = ( (-20) + ( + 8) ) B = ( - ( 20 – 8 ) ) B = ( - 12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
7° ) Rendre
compte : |
|
Fin du calcul de l’expression
n° 2 : [ 28 – ( - 20 + 2 x 4
)] ;
Mais
[
28 – ( - 20 + 2 x 4 ) ] = [ A – B ]
donc nous remplaçons A par « 28 » et B par « ( - 12 ) »
L’expression n°2 est réduite à l’opération = [ 28 – ( - 12 ) ]
Ensuite on doit transformer , par étape ; [ 28 –
( - 12 ) ] ;
« 28 »
devient « ( + 28 ) » ; le premier signe moins est transformé en
signe plus , on change alors le signe de
moins de « 12 » en signe « + »
ainsi
l’expression [ 28 + (
+ 12 ) ] qui devient la somme : [ (+28)
+ ( + 12 ) ]
Il suffit de calculer la
valeur de l’addition [ (+28)
+ ( + 12 ) ] = ( + ( 28 + 12 ) ) = ( + 40 )
En
résumé : Calcul
de l’ expression 2 : [ 28 – ( - 20 + 2 x 4 ] = ( + 40
)
Suite : Commentaire : Nous avons réduit les 2 expressions ,chacune à un nombre ;
Nous reprenons ces résultats et nous
reposons la soustraction « réduite » à deux nombres relatifs. ( à savoir : F = Expression 1 – expression 2 )
F = [ 30 – ( 3 + 7 x 2 ) ] -
[ 28 – ( - 20 + 2 x 4 ]
F = Expression 1
– expression 2
F =( + 13 ) – ( + 40 )
on transforme la
soustraction en addition :
F = ( + 13 ) + ( -
40 )
F = ( - ( 40 – 13 ) )
F = ( - ( 27 ) )
F = ( - 27 )
G = 7 – ( - 4 ) – 9
Commentaire :
il faut transformer l’expression en somme algébrique :
G = 7 – ( - 4 ) – 9 devient
Commentaire : “7” devient ( + 7 ) ; - ( -4) devient “ + ( + 4 ) et “ – 9 “ devient +( - 9 ) de telle sorte que
G = 7 – ( - 4 ) – 9 devient
( + 7 ) + ( + 4 ) +( - 9 )
Commentaire :
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
|
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : ( +
7 ) + ( + 4 ) |
( + 7 ) + ( + 4 ) = ( + ( 7 +
4 ) ) = (
+ ( 11 )) = ( + 11) |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : |
On passe |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 13 qui est la valeur absolue , donc le
résultat sera du signe devant 13 soit
les signe « moins ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . |
G =( + 11) +( - 9 ) G = ( + ( 11 – 9 ) ) G = ( + 2 ) |
H = ( - 2 ) – 5 + ( - 6 ) – ( - 3)
Commentaire : il n’y a
pas de signe “multiplier” ; « diviser » ”
Nous avons une
expression algébrique à transformer en somme algébrique H = ( - 2 ) – 5 + ( - 6 ) – ( - 3)
|
Procédure
, faire dans l ‘ordre : |
H = (
- 2 ) – 5 + ( - 6 ) – ( - 3) |
|
On passe |
|
|
2 ° ) Faire la (ou les ) division |
On passe |
|
3° ) Faire la ( ou les ) multiplication : |
On passe |
|
4° ) Transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs ( - 2 ) ; reste tel que ;ne change pas . « -5 »
devient + ( – 5 ) ; + ( - 6 ) ; reste
tel que ;ne change pas . - ( - 3 )
devient + ( +
3) on remplace dans H et on obtient |
H = ( - 2 ) + ( –
5 ) + ( - 6 ) + ( + 3) |
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
|
|
Somme des
positifs : Liste des nombres positifs : il n’y a qu’un seul nombre ( + 3) |
( + 3) |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : ( - 2 ) ; ( – 5 ) ; ( - 6 ) On doit effectuer la somme de ( - 2 ) + ( – 5 ) +
( - 6 ) |
( - 2 ) + ( – 5 ) + ( - 6 ) = ( - ( 2 + 5 + 6 ) ) = ( - 13) |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* (revoir
la règle) commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 13 qui est la valeur absolue , donc le
résultat sera du signe devant 13 soit
les signe « moins ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . |
H = (
+ 3) + ( - 13) |
|
H =
( - (
13 – 3 ) ) H =
( - (
10 ) ) |
|
|
|
|
|
7° ) Rendre
compte : |
Soit H = ( - 10 ) |
I = 12 + ( - 42 ) – ( - 7 )
I
= 12 + ( - 42 ) – ( - 7 )
Commentaire :
il faut transformer l’expression en somme algébrique :
I = 12 + ( - 42 ) – ( - 7 ) devient
Commentaire : “ 12 ” devient ( + 12 ) ; + ( -4 2 ) ne change pas et “ – ( - 7 ) “ devient « +( + 7 ) de telle sorte que
I = 12 + ( - 42 ) – ( - 7 ) devient
I = ( +12 ) + ( - 42 ) + ( + 7 )
Commentaire : c’est unes somme contenant deux nombres positifs et un nombre négatif
|
5° ) Faire les sommes
des nombres de même signe . (peu importe l’ordre) |
|
|
Somme des
positifs : Liste des
nombres positifs : ( +
12 ) et ( + 7 ) |
I = ( + 12 ) + ( + 7 ) = (
+ (12 + 7 ) ) = ( + ( 1 9 )) = ( + 1 9) |
|
Somme des
négatifs : Liste des
nombres négatifs : |
On passe , on
a ( - 42) |
|
6° ) Puis faire la
somme des deux nombres de signes contraires.* commentaire 1 : le résultat à pour signe le signe de la
plus grande valeur absolue ; ici
c’est 42 qui est la valeur absolue , donc le résultat sera du signe devant 42 soit les signe « moins ». commentaire
2 : la
valeur numérique du résultat est obtenue en faisant une soustraction.(faire toujours dans l’ordre : la plus grande moins la plus petite valeur
absolue . |
I =( + 19 ) +( - 42 )
G = ( - ( 42 – 19 ) ) G = ( - 23 ) |
Devoir CONTRÔLE : ( Jamais donner au collège , alors que
tous ces calculs ne peuvent être conduits sans connaître la procédure)
Question générale :
Cas 1 :
L’expression ne contient pas de nombres dans des parenthèses ou crochets Dans quel ordre doit-on effectuer les opérations ,dans une chaîne
d’opérations contenant ( voir cas par cas ) ?
Cas 1 : n 1°) Dans quel ordre doit-on
effectuer les opérations ,dans une chaîne d’opérations contenant:
que
des additions; des soustractions ;des multiplications et des divisions (ou fractions) ?
|
Procédure : faire
dans l ‘ordre |
|
2° ) Dans quel ordre doit-on effectuer les
opérations ,dans une chaîne
d’opérations contenant:
que
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions , des puissances ?
|
Procédure
à suivre : |
|
3
°) Dans quel ordre doit-on effectuer les opérations
,dans une chaîne d’opérations
contenant:
que
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions , des puissances et
des racines ?
|
Procédure
à suivre : |
|
Cas GENERAL : Sans nombre dans des parenthèses
ou crochets
L’expression contient
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions (ou fractions….) , des puissances , des
racines:
exemple 9,2 - 42 
7
+ 2,7 (-6)2 + 
- 
=
|
Procédure à suivre : ( faire dans l’ordre…)
au cas par cas , s’il y a … |
|
|
1° ) Faire la racine : au
préalable faire le calcul sous la racine au cas où….. |
|
|
2°) Faire les puissances |
|
|
3°) Faire
les divisions |
|
|
4°) Faire
les multiplications |
|
|
5°) Transformer
l’expression algébrique en somme algébrique |
|
|
6°) Faire
la somme des nombres positifs |
|
|
7°) Faire
la somme des nombres négatifs |
|
|
8°) Faire
la somme des nombres de signe contraire. |
|
|
9°) Rendre
compte |
|
Cas GENERAL : L’expression contient des
parenthèses ou crochets
Faire tous les calculs ( appliquer la
procédure décrit dans le cas général 1 ) dans les parenthèses (ou les crochets ) avant
de supprimer les parenthèses et ou les crochets.