Fiche 1 : Les nombres relatifs : le nombre entier relatif, le décimal relatif, simplification, droite graduée….

Fiche 2 : Addition de deux nombres relatifs.

Fiche 3 : Propriétés de l’addition des nombres relatifs.

Fiche 4 :  Somme de plusieurs nombres relatifs.

Cette leçon est très très  importante ,  elle est une des bases fondamentales…

Le nombre relatif n’est pas qu’un « simple nombre », il ne devrait pas avoir de forme simplifiée !!!!

 C’est un nombre dit « nombre algébrique » ;

Voir info 1 : nomenclature sur les écritures numériques

Fiche 1 : Les nombres relatifs.

Sos :info 2  Complément sur ce qu’il faut savoir sur les nombres relatifs

A )  Les entiers relatifs :

En classe de 6^ème , vous avez rencontré des entiers relatifs .

Exemples :

·       ( -9) ; ( ( + 11 ) ; ( 0 ) ; ( - 67 ) ; ( + 7 ) ; ( + 863)  sont des nombres entiers relatifs.

·       ( + 7 ) ; ( + 693) ; ( + 73 ) :  sont des entiers relatifs positifs . Leur signe est : ..+ ….

·       ( - 7 ) ; ( - 693 ) ; ( - 73 ) : sont des entiers relatifs négatifs . Leur signe est : ..- ….

·       « 0 » ( zéro) est à la fois « positif » et « négatifs ».

B ) L’opposé d’un nombre relatif.

§  ( - 8 ) et ( + 8 ) sont des entiers relatifs « opposés »  .

SOS : cours sur « opposé » d’un nombre 

On écrit ( - 8 ) = Opp. ( + 8 )

Lire :  «  ( - 8 ) est égal à l’opposé de ( + 8 ) »

On écrit ( + 8 ) = Opp. ( - 8 )

Lire :  «  ( + 8 ) est égal à l’opposé de ( - 8 ) »

Activité n°….

Complétez :

Opp. ( - 23 )  =

……( + 23)….

Opp. ( + 57 )  =

…( - 57 )..

Opp. ( 0 )  =

……( 0 )……

C) Simplification d’ l’écriture d’un entier relatif.

SOS :   Attention ! ce chapitre est donné au collège mais attention il faut savoir retenir qu’un nombre relatif est toujours composé d’un signe « plus » ou « moins » ,d’une valeur absolue  , dans des parenthèses)  

Ci-contre la représentation graphique des nombres entiers naturels..→

Ci- dessous représentation des entiers relatifs.

Vous voyez que les entiers positifs occupent la même place que les entiers naturels.

§  C’est la raison pour laquelle on les confondra et on écrira par exemple … ( + 7 )  =  7  ( warmaths vous met en garde contre cette simplification…..) 

§  Dans le cas de « négatif » , si le nombre est seul, on peut ne pas mettre les parenthèses . Par exemple : on écrira  «  - 5 » à la place de « ( - 5) ». ( warmaths vous met en garde contre cette simplification…..) 

D : Les décimaux relatifs.

Voici des décimaux relatifs ( - 13 , 9 ) ; ( + 43 , 86 ) ; ( -  0, 0 5 ) ;…..

comme pour les entiers, on peut simplifier l’écriture : - 13,9 ; 43,86 ; 0,05

§  Tout nombre entier peut être considéré comme un nombre décimal.

Par exemple « 73 » peut s’écrire « 73,00 ».

De même ( + 47 ) peut s’écrire  ( 47 , 000) ou   47, 000 : 

Et  même :  ( - 5 ) peut s’écrire ( 5 , 0 )   ou   - 5,0

Donc tout entier relatif peut être considéré comme un : nombre décimal…

Par la suite , on dira souvent « nombre relatif » sans distinguer entier ou décimal.

·       ( - 8 , 57 )  et  ( + 8 , 57)  sont deux décimaux relatifs …………………opposés….

Activités n°….

Opp. ( + 0 , 007 ) = …………

( - 0 , 007)

Opp. ( - 53, 29 ) = ……….

( + 53 , 29 )

Tout nombre relatif possède un opposé unique.

Comment   l’ obtient-on ?..........................................Il suffit de prendre le nombre relatif est changer  le signe + en -   ou  - en plus….

E : Droite graduée  ( simplifiée !!! attention danger )….

Sur la droite ci-dessous ,nous avons placé des points……..identifiés par des lettres……..

On dit que :

Forme simplifiée

Forme « normalisée »

Forme simplifiée

Forme « normalisée »

Le point « A » a pour abscisse :

4

( + 4 )

Le point « E » a pour abscisse :

2,3

( + 2,3 )

Le point « B » a pour abscisse :

- 2

( - 2 )

Le point « F » a pour abscisse :

-3,7

( - 3,7)

Le point « C » a pour abscisse :

1

( + 1 )

Le point « G » a pour abscisse :

-0,8

( - 0,8 )

Le point « D» a pour abscisse :

-5

( - 5 )

Le point « H » a pour abscisse :

5,6

( + 5,6)

Fiche 2 : Addition des nombres relatifs.

SOS cours exclusivement sur addition…

(@revoir les deux cours  traités en 6^ème) :@ cours 1 ; @ cours 2 ;.

Lorsque  vous aurez revu le cours vous devriez trouver les valeurs de la somme….

Opérations

On vous demande de calculer la :

Situation problème

( + 23 ) + ( + 12 ) = ………( + 25 )

Somme de deux nombres de signe « + »

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 23 € , puis reçoit à nouveau 12 €

( - 19 ) + ( - 45 ) = …………( - 64 )

Somme de deux nombres de signe « - »

Vous imaginez qu’un caissier paie 19 € , puis paie à nouveau 45 €

( + 68 ) + ( - 41 ) = ………….( + 27 )

Somme de deux nombres de signe contraire.

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 68 € , puis paie  41€

« 68 » est plus grand que « 41 » ; le signe « + » est le signe que possède  la  plus grande valeur numérique….

Le résultat  est un nombre relatif  qui a le signe du nombre relatif qui a la plus grande valeur numérique ;..et qui a pour valeur numérique la différence entre la plus grande valeur numérique moins la plus petite valeur numérique…ce qui donne :  (  + ( 68 – 41 ) )   = ( + 27)

( - 49 ) + ( + 35 ) = ………( - 14 ) .

Somme de deux nombres de signe contraire.

Vous imaginez qu’un caissier paie 49 € , puis reçoit  35 €

« 49  » est plus grand que « 35 » ; le signe « - » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique….

( + 27 ) + ( - 89 ) = ………( - 62 )

Somme de deux nombres de signe contraire

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 27 € , puis reçoit à nouveau 89 €

« 89  » est plus grand que « 27 » ; le signe « - » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique…. :  (  - ( 89 – 27 ) )   = ( - 62)

( - 13 ) + ( + 45 ) = ………( + 32 )

Somme de deux nombres de signe contraire

Vous imaginez qu’un caissier paie  13 € , puis reçoit 45 €

« 45  » est plus grand que « 13 » ; le signe « + » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique….

Dans tous les cas , pour trouver le résultat  ,  vous remplacez  chaque nombre positif par une recette et chaque nombre négatif par une dépense…….

Remarque 1  : on a utilisé des nombres entiers, mais on peut faire de même avec des décimaux…

Remarque 2 : porte sur le vocabulaire :  La « valeur  numérique » d’un nombre relatif porte le nom de «@ valeur absolue »

Exemples :

La valeur absolue de ( +23)  est

« 23 »

La valeur absolue de ( - 19 )  est

« 19 »

Activités n°…

Donnez la valeur absolue des nombres relatifs :

( + 12 )   à pour valeur absolue : 12

( + 68 )   à pour valeur absolue : 68

( + 35 )   à pour valeur absolue :….

( -13 )   à pour valeur absolue :….

( - 19 )   à pour valeur absolue :  19

( - 41 )   à pour valeur absolue : 41

( + 27 )   à pour valeur absolue :……

( + 45)   à pour valeur absolue :…..

( - 45  )   à pour valeur absolue : 45

( - 49 )   à pour valeur absolue : 49

( - 89 )   à pour valeur absolue :…..

( + 12, 6 ) à pour valeur absolue :….

Avant d’énoncer @ la règle de l’addition des nombres relatifs , vous pouvez retenir le schéma suivant.

A)    Les nombres ont le même signe :

On calcule la somme des valeurs absolues

Résultat

( + 3 ) + ( + 5 )

Le signe de la somme est « + »

3 + 5  = 8

( + 3 ) + ( + 5 )=  ( + 8 )

( - 3 ) + ( - 5 )

Le signe de la somme est « - »

3 + 5  = 8

( - 3 ) + ( - 5 )=  ( - 8 )

    B ) Les nombres sont de signe différent  (contraire).

( + 3 ) + ( -  5 )=  ……..

 5  >   3 ; le signe de la somme est celui de  ( - 5 ) , le signe  - (moins) ; d’où le calcul : 5 – 3 = 2  

( + 3 ) + ( - 5 )=  ( - 2 )

( - 4 ) + ( + 9 )=  ……..

4  <  9 ; le signe de la somme est celui de  ( +9   ) , le signe  +  (plus) ; d’où le calcul : 9 – 4 = 5  

( - 4 ) + ( + 9 )=  ( + 5 )

On retiendra : sur l’addition de deux nombres relatifs :

1°) La somme de deux nombres de même signe est égale à un troisième nombre relatif qui aura

-       pour              signe  :  le signe commun       

-       pour valeur absolue : la somme des deux valeurs absolues

2°)  La somme de deux nombres relatifs de « signe différent  » ;( un nombre de signe + l’autre de signe -   et inversement l’un de signe  - l’autre de signe  +)  est égale à un troisième nombre relatif  qui aura :

-      Pour  « signe »  : le signe du nombre relatif qui à la plus grande valeur absolue.

-     Pour valeur absolue:  La différence (soustraction *) des valeurs absolues; toujours la plus grande valeur absolue moins la plus petite valeur absolue.

Activités n°….

Effectuez les opérations suivantes .avec des entiers relatifs.

( + 28 ) + ( - 13 ) = ………

( + 15 )

( + 6 ) + ( + 23 ) = ……….

( + 29 )

( + 11 ) + ( - 11 ) = ………….

0

( - 24 ) + ( + 58 ) =……….

( + 34 )

( + 5 ) + ( - 17 ) = ……….

( - 12 )

( - 29 ) + ( 0 ) = ………

( - 29 )

( - 51 ) + ( - 36  ) = ………

( - 87 )

( 0 ) + ( + 19 ) = ………

( + 19 )

( - 37 ) + ( + 28 ) = ………

( - 9 )

Effectuez les opérations suivantes .avec des décimaux relatifs.

( + 18,37 ) + ( - 54,07 ) = ………

( - 35 , 70)

( - 53 ,80  ) + ( + 41,253 ) = ………

( - 12,547)

( - 0,09 ) + ( - 0,038 ) = ………

( - 0,128)

Vocabulaire :

( + 7 ) + ( - 5 ) = ( + 3)

-      ( + 3 ) est la …somme….. de ( + 7 ) et de ( - 5)

-     ( + 7 ) et ( - 5) sont les ….termes … de la même somme.

L’opération correspondante s’appelle : …….l’addition…

Info @ 1…….

Fiche 3 : Propriétés de l’addition des nombres relatifs.

Sos -@ info +++

A ) la commutativité .

Calculez :  ( + 3 ) + ( - 7 ) = ……( - 4 )…….  Et     ( - 7 ) + ( + 3 ) = ……(- 4)….

Vous pouvez donc écrire :     ( + 3 ) + ( - 7 )      =    ( - 7 ) + ( + 3 )

Vous pouvez choisir d’autres nombres , vous constaterez toujours que la somme ne change  pas si l’on permute les termes .On dira alors :

A retenir :

« L’addition des nombres relatifs  est commutative »  , cela signifie :

Pour tous nombres relatifs  « a » et « b » , « a  +  b =  …..  b + a ……….»   

B)    L’associativité.

Activité : ………..Complétez :

      ( - 7 ) +

                    =            ( - 3  )         +  ( - 6 )  

                    =  ( - 9 )

=   ( - 7  )  +  ( - 2 ) 

=   ( - 9 )

Vous pouvez donc écrire : 
 =       ( - 7 ) +

Vous pouvez choisir d’autres nombres , vous constatez toujours que la somme ne change pas si l’on place différemment les parenthèses dans cette somme, on dira alors :

A retenir :

« l’addition des nombres relatifs est associative »   , cela signifie :

Pour tous nombres relatifs  « a » , « b » et « c » , «  ( a  +  b ) +  c =  …..  a + ( b + c)  ……….»

Puisque la place des parenthèses n’importe pas , on convient d’écrire la forme simplifiée  «  a + b + c » à la place de «   (a + b ) + c » ou  «  a + ( b + c ) » 

C ) L’élément neutre.

Calculez

( - 19 ) + 0  =………….

( - 19 )

0 + ( + 27 ) = …….

( + 27 )

( - 33, 49 ) + 0  = ………

( - 33, 49 )

A retenir

« 0 » est l’élément neutre pour l’addition des nombres relatifs . 

Cela signifie que :

Pour tout nombre relatif « a » ,   «  a + 0 = …a.. »    ;   «  0 + a = …a.. »

D ) L’opposé …  « unique »..

SOS. @Propriété utiliser pour transformer une égalité ou « résoudre une équation »..

Vous savez que  « ( + 7 ) »  et « ( - 7 ) » sont deux nombres relatifs …………………….opposés….. 

On écrit : Opp ( + 7 )  = ………………( - 7 ) …… et Opp ( - 7 ) = ……………( + 7 )….

( + 7 ) + ( - 7 ) = ……………0……………..donc  ( + 7 ) +   Opp ( +7) = …0……….

De même :         ( - 13,5 ) +  Opp ( - 13 , 5 ) = ……………0…….

A retenir :

Tout nombre relatif possède un opposé unique.

Pour tout nombre relatif « a » ,   «  a + Opp ( a ) = …0…. »

·       Inversement , on peut prouver que si la somme de deux nombres relatifs est nulle, alors ces deux nombres sont opposés l’un de l’autre.

A retenir :

Si «  a + b = 0 »  alors  « a = Opp ( b )  »  et «  b = Opp ( a ) »

Activité : n°…..

Calculez :

Opp ( Opp ( - 5 ) ) = Opp …(+5) …..= …….( - 5 )

Opp ( Opp ( + 4,9 ) ) =  Opp …( - 4,9)……. = ( + 4,9 )………

A retenir :

Pour tout nombre relatif « a » ,    Opp  =  a

Activité N°…….

Calculez :

A =

A = ( + 4 ) + ( - 9 ) + ( +11)= ( - 5 ) + ( +11)

A =  ( + 6 )

B = 

B =

B =  ( - 2)

C =  ( - 6 ) +

C = ( - 6 ) + ( + 2 )

C = ( - 4 )

Fiche 4 :  Somme de plusieurs nombres relatifs.

Voir exercices ..

En principe, on ne sait pas calculer :  A = ( - 15 ) + ( + 28 ) + ( +37 ) + ( - 67) ,  on ne sait que traiter que deux nombres à la fois , ce qui permet de dire  que l’écriture  de « A » est la forme simplifiée ( par convention) de :

Par exemple :  

Poursuivez le calcul .

A = ……………………………………..= ………………………..=………………………..

;  ;  

Vous pouvez imaginer d’autres façons de placer les parenthèses, puis effectuez le calcul..

A =    …………………………( -15  )  [  ( ( +28 )+  ( + 37 ) )    + ( - 67 )  ]

Autre façon : A = ……………………………………..

Dans la pratique :

Etant donné une somme de plusieurs termes sans parenthèses , pour effectuer le calcul , on peut imaginer une succession de parenthèses et crochets comme dans la première façon.  Ceci revient à dire que l’on additionne le premier le premier terme avec le deuxième, le résultat obtenu avec le troisième et ainsi de suite jusqu’au dernier terme.

Activité n°…

Utilisez la méthode précédente pour calculer :

B = ( + 13 ) + ( - 17 ) + ( - 23 ) + ( + 43 ) + ( - 24 ) + ( + 53 ) = ……….. ………………………………

Autre méthode : Grâce à la commutativité et à l’associativité, on peut regrouper les nombres positifs d’une part et les nombres négatifs d’autre part.

Appliquez cette méthode  pour calculer « B » .

   =   ………….. + ……………..= ………….

Faites de même pour « C ».

C =  ( + 27 ) + ( - 53 ) + ( + 18 ) + ( + 45 ) + ( - 12 ) + ( - 23 ) + ( + 14 )

C = ………………………………………………………………………………………………………………….

Autre possibilité :

Il se peut que dans la suite  de nombres à additionner figurent des opposés.

On peut alors les regrouper de manière à faire apparaître leur somme qui est : ……..0……..

D =  ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) + ( + 9 ) + ( + 3 ) + ( - 4 ) + ( - 2 )

D =  [ ( + 3 ) + ( - 3 )  ] + [ ( + 2 ) + ( - 2 )  ] +[ ( + 4 ) + ( - 4 )  ] + ( + 9 )

D =     0                        +               0              +              0              + ( + 9 )

D =  ( + 9 )

Dans la pratique , on se contente de souligner les termes opposés..

EXERCICES:   (en évaluation la calculatrice est interdite)

 CONTROLE

               a)  Combien y a t il de cas à traiter dans l ' addition des nombres relatifs?

             1°) citer la règle concernant l’addition de deux nombres positifs.

                    (donner le modèle mathématique)

              2) citer la règle  concernant l’addition de deux nombres de signe négatif.

                              (donner le modèle mathématique)

              3°) citer la règle de l’addition de deux nombres de même signe.

                        (donner les  deux modèles mathématiques)

               4°)citer la règle concernant l’addition de deux nombres de signe contraire.

                          (donner les deux modèles mathématiques)

               5°) Traduire  sous forme littérale les quatre égalités suivantes:

6 ° )   Donner la procédure permettant de faire les calculs  dans une somme algébrique.

EVALUATION

Partie I:

        effectuer les opérations suivantes (donner les étapes)

partie II:

Effectuer les opérations suivantes ,( à transformer ):

Partie  III

 idem que ci dessus:

Partie VI:

donner sous forme relative la valeur de « x et y »:

EN PLUS:

Résoudre: