Exemples d’ énoncé de
pb :
1.
De combien de manières différentes huit
personnes peuvent-elles se placer autour d’une table ?
2.
Calculer le nombre des permutations qu’on peut
faire avec 24 lettres ?
3.
On a 90 numéros dans une urne , et l’on en tire
1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les
numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?
4.
On doit loger 40 personnes dans deux dortoirs
différents : le premier contient 33 lits , le second 7 lits ; de
combien de manières peut-on distribuer ces 40 personnes. ?
5.
Au jeu de boston on donne 13 cartes sur 52 , combien de combinaisons
différentes ?
6.
Calculer le nombre de coups différents que l’on
peut amener au jeu de dés .
7.
Quelle est la probabilité que tous les dés
marquent le même point ? .
8.
Quelle est la probabilité d’amener trois points égaux avec quatre
dés ?
Problème n°1 :
De combien de manières différentes huit personnes
peuvent-elles se placer autour d’une table ?
Cette question revient à demander quelles sont les
permutations dont 8 objets (personnes) sont susceptibles. Il faut donc employer
la formule (2) dans laquelle on remplacera « n » par 8, et elle donnera :
1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X
8 =
40 320
Donc 8 personnes pourront dîner ensemble
40 320 fois pour épuiser toutes
les positions diverses qu’elles peuvent prendre les unes relativement aux
autres.
Problème n°2 :
Calculer le nombre des permutations qu’on peut faire
avec 24 lettres ?
Dans ce cas , on fera avec « n » = 24
dans la formule ( 2) et elle deviendra :
1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X
8X…………………………………………..X 23 X 24 =
soit le calcul 24 !
( lire : 24 factoriel)
En effectuant toutes les multiplication,on obtiendra,
pour le nombre demandé :
620 448 401 733 239 439 360 000 permutations.
Commentaire sur ce nombre effrayant qui contient 620 sextillions, il
faut se demander quelle étendue occuperaient ces permutations.
A cet effet, multiplions ce nombre par 24 pour avoir
le nombre total des lettres contenues dans l’ensemble de toutes ces
permutations ,et admettons que ces lettres , imprimées en caractères
ordinaires,occupent chacune 4 millimètres carrés, ce qui fait 250 000
lettres par mètre carré.
Cela posé, on trouvera que toutes les permutations des
24 lettres de l’alphabet occuperaient une surface égale à 118 000 fois
celle du globe terrestre.
Problème n°3 :
On a 90 numéros dans une urne , et l’on en tire 1 , ou
2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les numéros
sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?
Dans ce problème, on ne tient pas compte de l’ordre
dans lequel se trouvent les numéros sortants ; en conséquence, la chance
de demandée doit être calculée d’après le nombre des combinaisons de 90 numéros pris 1 à 1 ; 2 à 2 ;
3 à 3 ; 4 à 4 ; 5 à 5 , 6 à 6 ;
c'est-à-dire qu’il faudra
appliquer la formule (3 ) et prendre « m
= 90 » et « n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
6 » On aura donc. :
Pour 1 numéro
………………………………………………………………….. 
= 90 chances.
Pour 2 numéros
……………………………………………………………………
= 4005
chances
Pour 3
numéros………………………………………………………………….
=
117 480 chances
Pour 4 numéros ………………………………………………………………
. = 2 555 190 chances
Pour 5 numéros ………………………………………………………………….
= 43 947 268 chances
Pour 6 numéros
……………………………………………………………………………………………………………………=
( à vous de calculer)
9.
Problème : le loto : On
a 49 numéros dans une urne , et l’on en
tire 1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que
les numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?
Problème n° 4 :
On doit loger 40 personnes dans deux dortoirs
différents : le premier contient 33 lits , le second 7 lits ; de
combien de manières peut-on distribuer ces 40 personnes. ?
Commentaire : l’ordre dans lequel seront placées
les 33 ou les 7 personnes dans chaque
chambrée n’étant pas en ligne de compte ,on doit chercher encore ici les combinaisons 7 à 7
ou 33 à 33 ; or , il faut
observer que le nombre des unes , doit être égal à celui des autres , car
chaque combinaison 7 à 7 en laisse nécessairement une 33 à 33.
D’ailleurs la formule
(3) donne le même résultat , soit qu’on fasse « n = 7 » ou « n = 33 » ;
On a en effet ,
Pour « n=7 »
, le nombre de manières = 
= 18 643 560
Pour « n=33 » , le nombre de manières = 
Et ces deux expressions sont égales , parce que dans
la seconde il y a aux deux termes les facteurs communs 8X 9 X ………….X 32 X 33
Au jeu de boston on donne 13 cartes sur 52 , combien de combinaisons
différentes ?
La formule (3) donne 
= 635 013 559 600
Problème 6 :
Au jeu de piquet on a 32 cartes : On en donne 12
à chaque joueur ,et l’on laisse 8 cartes
au talon ; on demande le nombre de combinaisons que peut offrir ce jeu.
La composition du jeu de chaque joueur est réglée par
les combinaisons 12 à 12 des 32 cartes ; mais chacune d’elles doit se
combiner ensuite avec les chances que donnent le jeu de l’autre joueur et les
cartes du talon, c'est-à-dire avec les
combinaisons 8 à 8 ou 12 à 12 des 20
cartes restantes , il faut donc multiplier ces deux résultats l’un par l’autre
pour avoir les combinaissons demandées.
On posera donc :
ce qui donne :
28 443 124 054 800
combinaisons.
Problème 7 :
Calculer le nombre de coups différents que l’on peut
amener au jeu de dés :
1°) avec un dé
2°) avec deux dés ;
3°) avec trois
dés,
etc.….. et en général avec « n » dés.
Info : Un
dé est un petit cube dont les six faces sont numérotées de 1 à 6 par des points
noirs, et la face qui reste en haut marque le coup.
Si l’on jette un seul dé,il est évident qu’on ne peut
obtenir que six coups différents.
Si l’on prend deux dés, alors que chaque numéro de
l’un peut se combiner avec les six numéros de l’autre, ce qui donnera 6 X 6 =
36 coups différents.
Avec trois dés , on verra que chaque face ou numéro du 3ème pourra se
combiner avec chacun des 36 coups
fournis par les deux premiers,et qu’ainsi l’on aura 6 X 6 X6 = 216 coups différents, et ainsi de suite.
Donc, en général, le nombre de coups possibles est exprimé
par le nombre 6 des faces de chaque dé , élevé à la puissance marquée par le
nombre de dés employés.
Ainsi on aura
Avec 1 dé …………………………………..6 chances de sortir un
………………..1 ;2 ;3 ;……….6
Avec deux dés ………………………….6 ² chances de sortir un arrangement ……..
Avec 3 dés
………………………………6 3 chances de
sortir un arrangement……..
Etc…………………………………………………………………………
Avec « n » dés ………………………….6 n
……………………………. chances de sortir un arrangement……..
10.
Remarque : le jeu de dés offre une grande variété
de chances,et donne lieu à un grand nombre de problèmes différents.
On peut se demander, par exemple, quelle est la
probabilité que tous les dés marquent le même point.
Or ,quelque nombre de dés,qu’on jette, il n’y a qu’une
manière d’avoir tous les as ; une pour
tous les « 2 », une pour tous les « 3 » , etc., ce
qui donne six chances seulement pour les coups égaux dans tous les cas ;
ainsi c’est le calcul
qui indique la probabilité demandée.
11.
En second lieu, demandons nous quelle est la
probabilité d’amener trois points égaux
avec quatre dés.
« m = 4 »
et « n= 3 » ;
combinaisons = 
A cet effet, nous dirons : les quatre as,par
exemple,dans ces quatre dés, peuvent donner
= 4
combinaisons 3 à 3 ; il en
sera de même pour obtenir 3 « deux » , 3 « trois » ,
3 « quatre » , 3 « cinq »,
les 3 « six » donneront aussi 4 combinaisons chacun,ce qui
fait en tout 24 combinaisons 3 à
3 ;
Mais pendant que trois dés marquent le même point, le
4ème peut représenter tour à tour chacune des 5 autres faces, en
sorte que les 24 combinaisons ci-dessus fourniront 24 X 5 = 120
combinaisons.,dans lesquelles trois dés marqueront le même point.
D’un autre côté , 4 dés pouvant donner 6 4 = 1296 coups différents , on aura pour le
rapport demandé : 
Problème XIII :
Etant donné un jeu de piquet ( 32 cartes) , calculer
la chance que l’on a de tirer une quinte en prenant cinq cartes au hasard.
La quinte forme une des combinaisons 5 à 5 que peuvent
donner les 8 cartes de chaque couleur qui entre dans un jeu de piquet, or, 8
cartes se combinent 5 à 5 de 
Ce qui fait pour les quatre
couleurs : 56 X 4 = 224
combinaisons.
D’un autre côté, 32 cartes forment en tout 
combinaisons 5 à 5.
La chance demandée est donc de :
EXERCICES ET PROBLEMES. (sur la théorie des combinaisons)
1° ) De combien
de manières 7 personnes peuvent-elles dîner ensemble en occupant toutes les
places possibles ?
( réponse : 5040)
2°) Avec 100 soldats combien peut-on former de rangs
de 5 hommes ?
( Réponse :
9 034 502 400)
3°) Sur un poste de 100 hommes , de combien de
manières peut-on extraire une patrouille de 5 hommes. ?
( Réponse : 75 287 520)
4°) DE combien de manières peut-on distribuer 21
objets en 2 tas de 6 et de 15 ?
(Réponse : 54 264)
5°) Quelle chance a-t-on de tirer trois cartes désignées
d’un jeu de 32 cartes. ?
(Réponse : 1 / 4960)
6°) On met 90 numéros dans un sac,et , après les
avoirs bien agités, on les retire l’un
après l’autre. Quelle est la probabilité que ces numéros sortirons dans l’ordre
naturel de leur grandeur ?
(Réponse : le nombre total des
permutations contre 1 )
7°) Au jeu de wist,
( ou de boston) quelle probabilité a – t-on que chaque joueur ait les 13 cartes de la
même couleur ?
Ce problème revient à demander quel est le nombre total
des combinaisons que peut offrir le jeu de wist ( ou de boston) relativement
aux quatre joueurs.
Solution : Le jeu du premier joueur est réglé par les
combinaisons données au problème n°5 ;
celui du second dépend des combinaisons
13 à 13 des 39 cartes restantes ; enfin le 3ème et le 4ème joueur auront des jeux pris dans les
combinaisons 13 à 13 des 26 autres
cartes ; en sorte que la probabilité demandée dépend du produit de ces
trois espèces de chances , et elle est exprimée par :
ce qui donne :
8 565 126 197 851 151 797 861 440 000
8°) Etant donnés les 73 caractères d’imprimerie qui
compose les vers suivants.
Celui qui met un frein à la fureur des flots
Sait aussi des méchants arrêter les complots ;
On suppose que l’on jette les caractères sans ordre dans une boîte ; qu’après les
avoir mêlés , on les en retire l’un après l’autre sans choix et qu’on les
assemble au hasard ; quelle probabilité y a - t- il que ces deux vers
ci-dessus soient reproduits ?
( Réponse : 73 X 72 X 71X ………………………3X 2 X 1 = 4,4701154615126843408912571381251 e+105 )
ce qui donne un nombre énorme !!!!!!!!!!!!!!
9°) On demande
le nombre total des combinaisons 2 à 2 ; 3 à 3 ;etc.…. ;6
à 6 ;qu’on peut former avec les 7 couleurs primaire du spectre solaire .
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