CORRECTION DES EXERCICES DU COURS SUR LES INEQUATIONS

Exercice n°1

NB : les opérations nécessaires à la résolution des inéquations ont été ajoutées en Gras

5x + 2 > -x - 4 5x+2 + x > -x - 4 + x 6x + 2 + (-2) > -4 + (-2) 6x > -6 6x /6 > -6 /6 x > -1 L'intervalle de x solution de cette inéquation est : ] -1 ; + ∞ [	3x + 8 > 5 3x + 8 + (-8) > 5 + (-8) 3x > -3 3x / 3 > -3 /3 x > -1 L'intervalle de x solution de cette inéquation est : ] -1 ; + ∞ [
-4x + 2 > 0 -4x + 2 + (-2) > 0 +(-2) -4x > -2 -4x / (-4) < -2 /(-4) x < 0,5 L'intervalle de x solution de cette inéquation est : ] -∞ ; 0,5 [	7x - 4 < 18 7x - 4 + 4 < 18 + 4 7x < 22 7x / 7 < 22 / 7 x < 22 / 7 L'intervalle de x solution de cette inéquation est : ] -∞ ; 22/7 [

Exercice n°2

Pour résoudre ces inéquations du second degré, il faut calculer le discriminant de l'équation du second degré ( ax² + bx + c = 0 ) qui correspond et appliquer les règles suivantes ( voir cours sur les équations et polynôme du second degré ) :

¶ Si le polynôme n'a pas de solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de a

· Si le polynôme a une ou deux solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de signe.

Résolution de -2x² + 3x + 8 > 0

Le discriminant de l'équation -2x² + 3x + 8 = 0 est : Δ = 3² -4 ´ (-2) ´ 8 = 9 + 64 = 73

Il y a donc deux solutions :

-2x² + 3x + 8 se factorise donc de la manière suivante : -2(x - x₁)(x - x₂ )

On a donc : -2x² + 3x + 8 = -2(x - x₁)(x - x₂ )

L'inéquation du départ est donc équivalente à -2(x - x₁)(x - x₂ ) > 0

Pour étudier le signe de cet inéquation on dresse un tableau de signe :

Valeurs de x	x1 x2
Signe de x-x1	- 0 +
Signe de x-x2	- 0 +
Signe de (x-x1)(x-x2)	+ 0 - 0 +
Signe de -2x² + 3x + 8	- 0 + 0 -

L'ensemble solution est donc :

Résolution de 4x²+8x+15 > 0

Le discriminant de l'équation 4x² + 8x + 15 = 0 est : Δ = 8² -4 ´ 2 ´ 15 = 64 - 120 = -56

Il n'y a pas de solution à cette équation donc le polynôme 4x² + 8x + 15 est du signe de 4 soit positif.

Quelque soit la valeur de x on a 4x² + 8x + 15 > 0 ; L'ensemble solution est ] - ∞ ; + ∞ [

Résolution de 13x² - 2x + 5 > 0

Le discriminant de l'équation 13x² - 2x + 5 = 0 est : Δ =(-2)² -4 ´ 13 ´ 5 = 4 - 260 = -256

Il n'y a pas de solution à cette équation donc le polynôme 13x² - 2x + 5 est du signe de 13 soit positif.

Quelque soit la valeur de x on a 13x² - 2x + 5> 0 ; L'ensemble solution est ] - ∞ ; + ∞ [.

Exercice n°3

est équivalent à

L'ensemble des couples ( x ; y ) solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessus" (droite comprise) de la droite d'équation y = x + 1 et "en dessous" (droite comprise) de la droite d'équation y = -x + 3

Il faut tracer les deux droites :

y = x + 1 passe par les points ( 0 ; 1 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

y = -x + 3 passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

Les solutions de ce système sont délimitées par la zone tuilées sur le graphique

.

est équivalent à

L'ensemble des couples ( x ; y ) solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessus"( droite non comprise) de la droite

d'équation y = -1,5x + 3 et "au dessus" (droite non comprise) de la droite d'équation y = 2x

Il faut tracer les deux droites :

y = -1,5x + 3 passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 2 ; 0 ) par exemple

y = 2x passe par les points ( 0 ; 0 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

Les solutions de ce système sont délimitées par la zone tuilées sur le graphique.

est équivalent à

L'ensemble des couples ( x ; y ) solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessous"( droite comprise) de la droite d'équation

y = -(2/3)x -2 et "au dessous" (droite non comprise) de la droite d'équation y = x + 3

Il faut tracer les deux droites :

y = -( 2 / 3 )x -2 passe par les points ( 0 ; -2 ) et ( 3 ; -4 ) par exemple

y = x + 3 passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 1 ; 4 ) par exemple