|
WARMATHS |
Les cylindres droits
|
- Définitions.
- Propriétés.
- Patron.
- Sections planes.
- Formules.
Définitions:
Le cylindre droit (ou cylindre de révolution) est un solide de révolution
Le cylindre droit est engendré par la révolution d'une ligne polygonale O1ABO2 ( le profil) telle que les angles en A et B soient droits. L'axe de révolution est la droite (O1O2).
fig 1: Représentation du profil en rouge et de l'axe de révolution en vert .
fig 2: Vue de dessous. Dessinées en pointillés, quelques positions du profil sont représentées. La rotation autour de l'axe (O1O2) se fait ici, dans le sens des aiguilles d'une montre (indiqué par une petite flèche rouge).
fig 3: Le cylindre est représenté par 14 positions du profil. Les faces ont été constituées par des petits morceaux de plan (facettes).
fig 4: Toutes les positions du profil ont été représentées. Comme il y en a une infinité, les 3 faces du cylindre sont chacune en un seul morceau.
Remarques:
Au lieu de prendre la ligne polygonale O1ABO2 nous pouvons n'utiliser que le segment [AB] (profil générateur). Dans ce cas nous obtenons un cylindre droit sans matérialisation les bases (il s'agit d'un tube droit).
Le profil est appelé génératrice.
Propriétés:
Le cylindre droit possède 3 faces:
- deux faces de base qui sont des disques de centre O1 et O2 et de même rayon R qui est le rayon du cylindre droit.
- une face latérale dont la longueur est le périmètre commun aux disques de base, et la largeur, la hauteur AB (ou O1O2 ) du cylindre droit.
Par construction, l'axe autour duquel tourne le profil est un axe de symétrie pour le cylindre droit
Patron:
Un patron est une figure dessinée sur un plan. Elle permet de façonner un objet qui représente le solide dans l'espace.
Les deux premières figures ci-dessous essaient de représenter le "dépliage" du cylindre droit en utilisant la perspective cavalière. La troisième figure représente le patron d'un cylindre droit.
Exercice: construire le patron du cylindre droit de rayon 2cm et de hauteur 4cm (dans ce cas AA' mesure 2.pi.2 soient 12,6cm environ). Ne pas oublier une languette le long de [AB] pour le collage (deux filets de colle rapide sur les bords [AA'] et [BB'] devraient suffire pour la fixation des deux disques).
Sections planes:
Une section plane d'un cylindre est obtenue en coupant le cylindre à l'aide d'un plan. Sur les figures de ce chapitre, le plan utilisé est représenté par un parallélogramme colorié en gris afin de donner une impression de relief. Les lignes cachées sont représentées en pointillés.
- parallèlement aux bases:
|
La section d'un cylindre droit par un plan parallèlement aux bases est un disque (cercle si le cylindre est vide=tube) de même rayon que les disques de base et dont le centre se trouve sur l'axe de symétrie (O1O2). |
|
-passant par l'axe de symétrie:
|
La section d'un cylindre droit par un plan passant par l'axe de symétrie est un rectangle dont la longueur est la hauteur du cylindre et dont la largeur est le diamètre du cylindre. |
|
-parallèlement à l'axe de symétrie:
|
La section d'un cylindre droit par un plan parallèlement à l'axe de symétrie est un rectangle dont la longueur est la hauteur du cylindre et dont la largeur est plus petite que le diamètre du cylindre. Le calcul de cette largeur se fait en calculant la longueur de la corde [AA'] dans le disque de centre O1. |
|
Par exemple: (en supposant que le rayon des bases soit connu)
-prolonger (AO1) pour recouper le disque en un point I . Le triangle AIA' est rectangle en A' (pourquoi?). Selon les données, utiliser le cosinus de l'un des angles aigus de AIA' ou le théorème de Pythagore.
-Si vous connaissez la distance du point O1 à la corde [AA'] alors il vaut mieux utiliser la médiatrice de [AA'] (cette médiatrice passe par le milieu de la corde et par le centre O1 du disque).
Formules:
aire latérale=2.pi.R.h (ou R est le rayon des disques de base et h la hauteur du cylindre).
aire totale=2.pi.R2+2.pi.R.h (somme des deux aires de base et de l'aire latérale)
ou, après factorisation: aire totale=2.pi.R.(R+h)
volume=pi.R2.h (produit de l'aire de la base par la hauteur du cylindre)