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Les vecteurs |
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Voir
aussi : translation, parallélogramme, repère
La notion de vecteur est
étroitement liée à celle de translation.
Une translation est définie dès que l'on connaît : la direction, le sens et la
longueur du déplacement. Il s'agit d'un déplacement rectiligne, dans le plan,
d'un objet donné. Chaque point de cet objet est déplacé sur la même
direction, dans le même sens et de la même longueur.
La translation qui transforme A en A', transforme de la même façon B en
B', C en C'. Ces points, reliés par une flèche indiquant le sens du
déplacement, constituent une collection de couples : (A,A'),
(B,B'), (C,C'). |
Cette infinité de couples définit un vecteur. Chaque
couple est un représentant de ce vecteur. Et chaque représentant
peut être dessiné à l'aide d'une flèche.
Un vecteur est donc défini par: sa direction
(le support de la flèche), son sens (le sens de la flèche) et sa longueur (la
longueur de la flèche).
Dans la pratique, pour définir un vecteur il suffit d'indiquer l'un de
ses représentants. Pour le nommer nous avons deux solutions:
-
soit nous lui donnons un nom surmonté d'une flèche (pour préciser qu'il s'agit
bien d'un vecteur et non pour indiquer son sens) comme indiqué sur la figure ci
dessus : u surmonté d'une flèche toujours dirigée vers la droite de la
lettre.
-
soit nous choisissons l'un des couples et nous l'écrivons sans parenthèses et
sans virgule, mais surmonté d'une flèche: et
nous disons "vecteur AA', vecteur BB', ..." .
Les points A, B, C.. sont les
origines des représentants, les points A', B', C'... en sont les
extrémités.
Remarque: la translation qui transforme A en A' est aussi appelée translation de vecteur
· Propriétés.
· Cas particulier: Milieu d'un segment
Les couples (A,A'),
(B,B'), (C,C')... définissent des représentants d'un même vecteur. Nous
pouvons choisir n'importe lequel de ces représentants pour donner un nom à ce
vecteur.
Les notations désignant
le même vecteur, nous pouvons écrire: Il
s'agit d'une égalité vectorielle.
Propriétés:
- Si, par une translation, le point A a pour image le point B, et le point C a pour image le
point D alors les vecteurs
.
- .
Attention : la flèche au dessus du
nom du vecteur est toujours orientée vers la droite de ce nom. Le sens du
vecteur est donné de son point origine ( A par
exemple) vers son point extrémité (A'). Les vecteurs ont
des sens opposés : ce sont des vecteurs opposés. Ils ont la
même direction, la même longueur mais pas le même sens.
De même des vecteurs qui n'ont pas la même direction, ou pas la même longueur,
ne peuvent pas être égaux.
Vecteur nul :. le vecteur correspondant à un déplacement de longueur égale à 0 est appelé vecteur nul. On peut le noter, par exemple, .
Cas particulier: soit M le milieu du segment [AB]
Rappels:
- Dans la translation qui amène
A sur B, si C a pour image D alors ABDC est un parallélogramme.
Notez bien que A vers B et C vers D donne ABDC et non ABCD pour le nom du parallélogramme.
- Si ABCD
est un parallélogramme alors
, dans la translation qui amène A
sur B, l'image de D est C.
Même remarque que ci dessus: attention à l'ordre des lettres dans le nom du
parallélogramme. Sinon vous avez un quadrilatère croisé. Ceci est peut
être plus facile à comprendre en utilisant la notation vectorielle ci dessous.
En passant aux notations vectoriels, ces théorèmes deviennent:
· La somme de deux vecteurs est commutative
· Construction du vecteur somme
Soit la translation t1 qui amène le point A sur
le point B et la translation t2 qui amène B sur le point C. Le résultat
est la translation t3 qui amène A sur C. t3 est appelée translation
composée de t1 suivi de t2
Nous allons démontrer que quelque soit le point a : si son image par t1 est b
et que l'image de b par t2 est c alors l'image de a par t3 est c.
Donc c est l'image de a par t3.
Par définition : est
le vecteur somme des vecteurs et .
Commutativité de la somme des vecteurs:
Nous allons montrer que l'ordre dans lequel s'effectue l'addition de deux
vecteurs est sans importance. Un peu comme pour la somme de deux nombres
(4+5=5+4 par exemple). |
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Donc +
=+
(cette
propriété est appelée commutativité de la somme des vecteurs). |
Par définition: la somme des vecteurs
Cas particulier :
Réciproquement:
3. Construction du vecteur somme:
Soient deux vecteurs dont les représentants n'ont aucun point commun (pour avoir un cas général). Soient les vecteurs représentés par (M,N) et (A,B). Il y a deux façons de s'y prendre. Pour mener ces constructions à bien, il est nécessaire de savoir construire un parallélogramme à partir d'un côté et d'un point (ou de deux côtés consécutifs). Si vous avez quelques difficultés cliquez ici. |
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· Représentation d'un vecteur dans un repère.
· Calcul des composantes d'un vecteur
· Composantes de vecteurs égaux
· Composantes de la somme de deux vecteurs
1. Représentation d'un vecteur dans un repère:
Le plan est muni du repère d'axe
(x'x) et (y'y), d'origine 0.
Soit les points A( xA,
yA) et B( xB,
yB). Le couple (A,B)
représente un vecteur dessiné à l'aide d'une flèche d'origine A et d'extrémité
B.
Les composantes de ce vecteur expriment les déplacements qu'il faut effectuer
pour aller de A à B, en suivant des chemins
parallèles aux axes.
Exemple: A(1;4) et B(6;-2)
La première composante s'obtient
en suivant , à partir de A, une ligne parallèle à (x'x),
dans le sens positif (abscisses croissantes) ou négatif (abscisses
décroissantes) selon la position de B. Nous arrêtons lorsque nous sommes à
l'aplomb de B : pour notre exemple le point M. Pour aller de A en M nous
augmentons les abscisses de 5. Ce qui donne la première composante : +5. |
Les composantes du vecteur sont notées (5 ; -6) comme pour les coordonnées d'un point. D'ailleurs le mot "coordonnées" est aussi utilisé pour désigner les composantes d'un vecteur.
1. Calcul des composantes d'un vecteur:
Exemple:
Reprenons l'exemple ci dessus: A(1;4) et B(6;-2).
En nous déplaçant parallèlement à (x'x) , pour aller de A à l'aplomb de B (point M) nous passons
de l'abscisse 1 (celle de A) à l'abscisse 6 (celle de B). La première
composante +5 est donc la différence entre l'abscisse de l'extrémité B et
l'abscisse de l'origine A: (+6) -
(+1) = +5.
De même pour la seconde composante. Nous passons de l'ordonnée 4 (celle de
A ou de M) à l'ordonnée -2 (celle
de B). La seconde composante -6
est donc la différence entre l'ordonnée de l'extrémité B et l'ordonnée de
l'origine A : (-2) - (+4) = -6.
Plus généralement :
Si A( xA,
yA) et B( xB,
yB) alors
les composantes du vecteur sont ( xB -
xA ; yB
- yA ).
Remarque:
Dans le calcul des composantes d'un vecteur, il faut toujours calculer:
1ère composante : abscisse de l'extrémité moins abscisse de l'origine.
2ème composante : ordonnée de l'extrémité moins ordonnée de l'origine.
2. Composantes de vecteurs égaux:
Si deux vecteurs sont égaux ils
ne sont pas forcément représentés au même endroit dans le repère, mais ils
sont, par définition :
de
même direction (les droites qui supportent leurs représentations sont
parallèles).
de même sens.
de même longueur.
Exemple: soient les vecteurs et
tels
que A(-1;4),
B(2; -2), C(3;5) et D(6;-1).
Nous pouvons observer sur le dessin ci contre que les vecteurs et sont égaux. Calculons les composantes de ces vecteurs: et leurs composantes sont égales. Nous admettons que ceci est général et nous avons deux théorèmes très utiles: |
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Si deux vecteurs sont égaux alors leurs composantes sont égales. Si les composantes de deux vecteurs sont égales alors ces vecteurs sont égaux. |
2. Composantes de la somme de deux vecteurs:
Soient les vecteurs
et . Nous
avons :
(xB - xA ; yB - yA) et (xC - xB ; yC- yB)
et la relation de Chasles donne : +=
où (xC - xA ; yC- yA).
Si nous ajoutons à xC - xA la valeur 0=xB - xB et à yC- yA la valeur yB- yB nous ne
changeons pas leur valeur:
xC - xA=xC - xA+xB - xB et yC- yA=yC- yA+yB- yB.
Ou, en écrivant autrement : xC - xA=(xB- xA)+(xC - xB), c'est
à dire la somme des deux premières composantes des vecteurs et
. De même:
En écrivant autrement : yC - yA=(yB- yA)+(yC - yB), c'est
à dire la somme des deux secondes composantes des vecteurs
et
.
D'où la règle:
La somme de deux vecteurs a pour composantes les sommes des composantes de ces vecteurs.
Exemple: soient (10;-5) et (3;4).
Leur somme est (10+3;-5+4) =(13;-1).
Remarque: la démonstration ci dessus utilise deux vecteurs
"bout à bout" (l'extrémité de l'un est l'origine de l'autre). Si ce
n'est pas le cas, la règle s'applique encore car l'un des deux vecteurs peut
être remplacé par un vecteur égal (donc de mêmes composantes) ayant comme
origine, l'extrémité de l'autre.
Exemple: (-2;3) et (6;3). Calcul de
+
Nous pouvons toujours construire le vecteur somme. Il suffit de
représenter le vecteur par
un vecteur égal (en pointillés rouges sur la figure) dont l'origine est
l'extrémité de . Nous
obtenons le vecteur =.
Les composantes de sont
les mêmes que celles de (-2;3). |
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1. Placer le translaté d'un point.
Avec la règle, l'équerre et le
compas.
Exemple: soit trois points A, B et C. Placer les points D et E, translatés
de C
a)
par la translation de vecteur pour
D.
b)
par la translation de vecteur pour E.
a) D étant le translaté de C par la translation de vecteur alors
A, C et D sont alignés. Il suffit de prolonger la
droite (AC) (droite (d1) ) et de porter avec le compas, à partir de C,
la distance AC dans le sens A vers C.
b) E étant le translaté de C par la translation de vecteur alors
=
.
Comme =
alors
CEBA est un parallélogramme. Donc (CE) est parallèle à (AB). Il faut
donc tracer une droite (2) parallèle à (AB) et porter sur (d2), à partir de
C, la distance AB dans le sens de A vers B.
2. Représenter un vecteur dans un repère:
Nous avons trois cas:
a)
nous connaissons les coordonnées des points du couple représentant le vecteur :
il suffit de placer ces points !..
b)
nous connaissons les composantes du vecteur: il existe une infinité de façons
de représenter ce vecteur.
Exemple: soit le vecteur (-2;3). La figure ci dessous en donne plusieurs représentations.
c)
nous connaissons un point et les composantes du vecteur : une représentation
particulière consiste à placer l'origine (l'extrémité) du vecteur au point
connu et de placer son extrémité (origine) en utilisant les valeurs de ses
composantes.
Exemples:
- placer un représentant de (-2;3) tel que
A(1;2) soit l'origine. Voir la figure ci-dessus : en partant
de A, nous devons aller "vers la gauche" de 2 unités (car première
composante = -2) et aller "vers le haut" de 3 unités (car secondes
composante = +3).
- placer un représentant de (-2;3) tel que
B(2;3) soit l'extrémité. Voir la figure ci dessus: en partant de
B, nous devons aller "vers le bas" de 3 unités et ensuite "vers
la droite" de 2 unité. Dans ce dernier cas nous suivons le chemin
opposé au cas précédent.
3. Lire les composantes d'un vecteur dans un repère:
Revoir, dans ce document, la définition des composantes.
4. Calculer les composantes d'un vecteur:
Revoir, dans ce document, le calcul des composantes.
5. Représenter la somme de deux vecteurs:
Revoir, dans ce document, la construction de la somme de deux vecteurs.
6. Calculer les composantes d'une somme de deux vecteurs:
Revoir, dans ce document, le calcul des composantes d'une somme de deux vecteurs.
Ce problème permet de comprendre comment:
· calculer les composantes d'un vecteur.
· calculer les coordonnées d'un milieu
o en utilisant une formule
o en utilisant une égalité de vecteurs.
· calculer les coordonnées d'un point en utilisant une égalité de vecteurs.
· démontrer qu'un point est milieu d'un segment, avec une égalité de vecteurs.
· calculer les coordonnées d'un point translaté.
Note:
Pour tracer la figure vous pouvez utiliser Déclic. Une méthode de tracé est donnée à la fin du corrigé (voir le corrigé).
Énoncé:
Dans un repère orthonormal d'origine O.
1. Placer les points A(-1;2), B(4;1), C(6;4) et D sachant que ABCD est un
parallélogramme.
2. Calculer les composantes du vecteur .
3. Calculer les coordonnées du point M, milieu de [AC].
4. Calculer les coordonnées du point D.
Soit E l'image de A par la translation de vecteur .
5. Démontrer que A est le milieu
de [DE].
6. Calculer les coordonnées de E.