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Les fonctions affines

Voir aussi: repères , fonctions(généralités), fonctions linéaires , équations de droites, proportionnalité .
L'ensemble de tous les nombres (nombres réels) est noté R, celui des nombres décimaux D, celui des entiers naturels N et celui des entiers relatifs Z.

I Définition:

La fonction affine f de coefficients a et b, associe à tout nombre x le nombre ax+b.

Notation :

où ax+b est l'image du nombre x. Les nombres a et b sont des nombres constants. Avec la notation fonctionnelle, nous écrivons : f(x)=ax+b

Exemples :

a. f(x)=3x+4 où a=3 et b=4

b. Lorsqu'une personne prend un taxi, dès son installation à bord du véhicule elle doit déjà un forfait (de 4€ par exemple), auquel va s'ajouter une somme calculée en fonction de la distance parcourue (de 2€ par kilomètre par exemple). Pour calculer la somme S à payer pour une distance de 5km, vous devez écrire:

S=2×5+4

égalité dans laquelle le nombre en rouge représente une distance parcourue. Cette distance est variable. Désignons par x cette distance, l'égalité devient:

S=2x+4

Cette égalité est la partie de la fonction affine f(x)=2x+4 qui concerne les valeurs positives de x (une distance est toujours un nombre positif). Dans ce cas le coefficient a est le prix au kilomètre, et le coefficient b est la valeur du forfait (somme à prévoir dès le départ).
Cette situation est typique des fonctions affines. Toute situation dans laquelle une valeur constante doit être ajoutée (ou retranchée) à une valeur variable (de degré 1, c'est à dire, pas de x² ou de x³...) a de fortes chances de pouvoir s'écrire sous la forme d'une fonction affine.

D'autres situations:

- Le salaire d'un représentant (en voiture, en tapis, en casseroles,..) : salaire fixe mensuel (coefficient b)auquel s'ajoute une prime par objet vendu (coefficient a) multipliée par le nombre d'objets vendus (c'est la variable x).
- Un abonnement à un fournisseur d'accès Internet. Un forfait d'un certain nombre d'heures d'accès (coefficient b) auquel s'ajoutent éventuellement les minutes de dépassement (c'est la variable x) facturées à un tarif par minute (coefficient a).

II Représentation graphique:

Soit la fonction affine f(x)=2x-3. Calculons quelques images et les coordonnées des points représentatifs. Plaçons ces points dans le repère d'origine O et d'axes orthogonaux: nous constatons qu'ils sont alignés.

valeurs de x	f(x)=images de x	Points
0	-3	A (0 ; - 3)
2	2×2-3 = 1	B (2 ; 1)
-1	2×(-1)-3 = -5	C (-1 ; -5)
1	2×1-3 = -1	D (1 ; -1)
3/2	2×(3/2)-3 = 0	E (3/2 ; 0)

D'une façon générale:
La fonction f(x)=ax+b est représentée, dans le plan muni d'un repère, par une droite parallèle à la droite représentant la fonction linéaire g(x)=ax.
Pour démontrer:

- Dans un repère d'origine O et d'axes (x'x) et (y'y), tracer une droite (d) passant par O. (d) représente une fonction linéaire g(x)=ax (a est quelconque pour les besoins d'une démonstration générale).
- Prendre un point B sur (y'y) d'ordonnée b (qui est un nombre quelconque).
- Avec la translation qui amène O sur B (ou de vecteur ), translater (d). Soit (D) la droite image.
- Prendre un point quelconque P sur (x'x) d'abscisse x. La droite qui passe par P parallèlement à (y'y), coupe (d) en N de coordonnées (x ; ax) et (D) en M de coordonnées(x ; y_M).
- Calculer y_M. (voir la Démonstration)

Remarques:

- La fonction g(x)=ax est appelée fonction linéaire associée à la fonction affine f(x)=ax+b. Les représentations de ces deux fonctions sont des droites parallèles.
- Le coefficient a est le coefficient directeur des fonctions f et g.
- b est appelée ordonnée à l'origine car le point A (voir la figure ci dessus) intersection de la droite représentative avec l'axe (y'y) a pour coordonnées (0;b) où 0 est l'abscisse de l'origine du repère.
- Le point E (voir la figure ci dessus) intersection de (D) avec l'axe (x'x) a pour ordonnée 0. Son abscisse x_E est telle que ax_E+b=0 d'où ax_E= -b et x_E= -b/a (pour l'exemple: -(-3)/2=3/2). Le point d'intersection de la droite représentant la fonction affine f(x)=ax+b a donc pour coordonnées (-b/a;0).

I Propriétés:

4 Proportionnalité des accroissements:

-a) Qu'est qu'un accroissement?
Dans une situation donnée nous parlons d'accroissement lorsqu'entre une valeur de départ (valeur initiale) et une valeur d'arrivée (valeur finale), nous constatons une augmentation ou une diminution. Lorsqu'il n'y a aucun changement nous disons que la valeur est stable ou encore que l'accroissement est nul (égal à 0).
Un accroissement est calculé en faisant : valeur finale - valeur initiale
Une augmentation est appelée accroissement positif alors qu'une diminution est appelée accroissement négatif.
Pour symboliser cette notion, appelons x₀ la valeur initiale et x₁ la valeur finale. L'accroissement correspondant est donc x₁ - x₀.
Par exemples:
x₀= 2 et x₁=-3 , l'accroissement est -3-2=-5 (accroissement négatif).
x₀= -2 et x₁=3 , l'accroissement est 3 -(-2)=3+2=5 (accroissement positif).
-b) Pour une fonction affine:
Soit la fonction affine f(x)=ax+b. Si x augmente (ou diminue) que devient son image f(x)?
Choisissons une valeur initiale arbitraire x₀ et une valeur finale toute aussi arbitraire x₁.
L'accroissement est donc: x₁-x₀.
Les images de ces valeurs sont: f(x₀)=ax₀+b et f(x₁)=ax₁+b.
L'accroissement sur les images est f(x₁)-f(x₀) c'est à dire:

(ax₁+b) - (ax₀+b)=ax₁+b-ax₀-b
donc : f(x₁)-f(x₀)=ax₁-ax₀et : f(x₁)-f(x₀)=a(x₁-ax₀)

Observons bien ce résultat. Il montre que l'accroissement des images (c'est à dire (f(x₁)-f(x₀)) est obtenu en multipliant l'accroissement des valeurs par le coefficient directeur a de la fonction affine.
Exemple: si la fonction affine est f(x)=2x+1 et que la valeur de x passe de 3 à 1 alors l'accroissement des images est : f(1)-f(3)=2(1-3)= -4.
Quelques soient les valeurs initiales et finales de x, l'accroissement des images est 2 fois l'accroissement des valeurs de x. Ce qui correspond à une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur de la fonction affine:

Les accroissement des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents.
Le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur de la fonction affine.

Notez bien : si vous connaissez deux nombres et leurs images par une fonction affine inconnue, en utilisant la propriété ci dessus, vous pouvez calculer simplement le coefficient directeur de cette fonction affine.
-c) Sur une représentation graphique:

Reprenons la fonction affine f(x)=2x+1 et représentons la dans un repère d'axe (x'x) et (y'y):

Un autre exemple est représenté: lorsque x passe de -2 à 4, les images passent de -3 à 9.
A un accroissement de 4-(-2)=6 correspond un accroissement de 9-(-3)=12. ce qui correspond à 6 multiplié par le coefficient directeur 2.

2 Deux fonctions affines de même coefficient directeur:

Soient les fonctions f(x)=ax+b et g(x)=ax+b'. Ces deux fonctions affines ont même coefficient directeur a. Nous avons la propriété suivante: Si deux fonctions affines ont même coefficient directeur alors elles sont représentées par deux droites parallèles.
Ce qui peut encore s'énoncer dans un repère du plan : Si deux droites ont même coefficient directeur alors elles sont parallèles.
Pour démontrer:

- Dans le repère d'origine O et d'axes (x'x) et (y'y), tracer deux droites (D) et (D') non parallèles à l'axe (y'y) (les tracer sensiblement parallèle pour mieux lire la figure). (D) et (D') coupent respectivement (y'y) en B et B'. On sait que (D) et (D') représentent des fonctions affines : soient (D) : f(x)=ax+b et (D') : g(x)=ax+b'.
- Par le point unitaire I ( sur (x'x) d'abscisse 1 ) tracer la droite parallèle à (y'y). Cette droite coupe (D) et (D') respectivement en A et A'.
- Calculer les coordonnées des milieux de [A'B] et [AB'].
- En déduire que ABB'A' est un parallélogramme... (voir la Démonstration)

Réciproquement:
Si deux fonctions affines sont représentées par des droites parallèles alors elles ont le même coefficient directeur. Ou encore dans un repère du plan :
Si deux droites sont parallèles alors elles ont même coefficient directeur.

Pour démontrer:

- Dans le repère d'origine O et d'axes (x'x) et (y'y), tracer deux droites (D) et (D') non parallèles à l'axe (y'y) et telles que (D) parallèles à (D'). Éviter le cas particulier dans lequel l'une des droites passent par l'origine du repère ..!
- Tracer par O la droite (d) parallèle à (D).
- Démontrer que (d) a même coefficient directeur que (D), puis que (D'). (voir la Démonstration).

3 Droites représentatives perpendiculaires:

Si , dans un repère orthonormal, deux fonctions affines sont représentées par des droites perpendiculaires alors leurs coefficients directeurs a et a' sont tels que aa'= -1

Pour démontrer:
Soient deux fonctions affines f(x)=ax+b et g(x)=a'x+b' représentées par (D) et (D'). Les fonctions linéaires associées sont alors représentées par les droites (d) et (d') telles que (D)//(d) et (D')//(d').
Si (D) et (D') sont perpendiculaires alors (d) et (d') le sont aussi. En effet:

Comme (D)//(d) et (D') perpendiculaire à (D) alors (D') perpendiculaire à (d).
Comme (d')//(D') et (D') perpendiculaire à (d) alors (d') est perpendiculaire à (d).

La démonstration du théorème est alors ramenée à démontrer que deux fonctions linéaires, représentées par des droites perpendiculaires, ont des coefficients a et a' tels que aa'= -1.
Le théorème réciproque est aussi démontré:(voir la Démonstration)
Si, dans un repère orthonormal, les coefficients a et a' de deux droites représentatives est tel que aa'= -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.

4 Appartenance d'un point à une droite représentative:

Soit la fonction affine f(x)=ax+b. Pour que le point P(x_P,y_P) appartienne à la droite représentative de f, il suffit que y_P=ax_P+b.
Exemple: f(x)=3x-1 ; (D) la droite représentative de f , A(2; 1/2) et B(1; 2).

- L'équation de la droite représentative est y=3x -1. Nous avons:
y_A=1/2
3x_A - 1 = 3×2 - 1 = 5
Comme y_A est différent de 3x_A - 1 alors A n'est pas un point de (D)

- Pour B nous avons :
y_B=2
3x_B - 1 = 3×1 - 1 =2
Comme y_B = 3x_B - 1 alors B est un point de (D)

III Ce que vous devez savoir faire:

1 . Représenter une fonction affine:

Une fonction affine étant représentée, dans un repère du plan, par une droite, il suffit de déterminer deux points de ce plan pour tracer la droite représentative.
Exemple: représenter f(x)=3x+2

Pour x=0, l'image est 2 (ordonnée à l'origine). Placez le point A(0;2).
Pour x=2, l'image est 3×2+2=8. Placez le point B(2;8).
Il ne reste plus qu'à tracer la droite (AB).

2 . Lire une représentation graphique:

Voir le document sur les fonctions linéaires : le principe est le même.

3 . Déterminer une fonction affine:

Nous désirons calculer les coefficients a et b d'une fonction affine ne connaissant que les images de deux nombres.
Remarque : avant de commencer tout calcul il est nécessaire de vérifier, en observant les valeurs données et leurs images:

Si les valeurs des antécédents sont les mêmes alors nous n'avons pas une fonction affine. Exemple: f(2)=5 et f(2)=3 où 5 et 2 ont le même antécédent . L'équation de (AB) est x=2 (non affine).
Si les images sont égales alors nous avons une fonction affine représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Exemple: f(3)=4 et f(5) =4 donc f(3)=f(5)=4 (3 et 5 ont même image par f). L'équation recherchée est alors une fonction affine particulière (cas où le coefficient directeur est nul) : y=4.

Exemple : l'image de x=1 est f(1)=2, et l'image de x=5 est f(5)=9.
Comme une fonction affine se présente sous la forme f(x)=ax+b, en remplaçant x par 1, puis par 5, nous pouvons écrire deux équations :

pour x=1 l'image est a×1+b=2 ou a+b=2
pour x=5 l'image est a×5+b=9.ou 5a+b=9
Nous devons résoudre le système à deux inconnues a et b:

{	a + b = 2 5a + b = 9	{	a = 2 - b 5a + b = 9	{	a = 2 - b 5 ( 2-b) + b = 9
{	a = 2 - b 10- 5b + b = 9	{	a = 2 - b 10 - 4b = 9	{	a = 2 - b - 4b = 9 - 10
{	a = 2 - b b = 1/4	{	a= 2 - 1/4 b = 1/4	{	a= 7/4 b = 1/4

La fonction recherchée est donc : f(x)=(7/4)x + 1/4

Autre méthode: en utilisant la proportionnalité des accroissements.

La valeur de x passe de 1 à 5, son accroissement est donc: 5-1=4.
Pour le calcul de a :
Nous savons que l'accroissement des images f(1) et f(5) est a fois l'accroissement des valeurs de x.
Donc : f(5)-f(1) = a × 4 ou 9 - 2 = 4a soit a = 7/4.
Pour le calcul de b:
Nous avons le choix entre les deux expressions: f(1)=(7/4)×1+b=2 et f(5)=(7/4)×5+ b=9.
Gardons la première : 7/4+b=2 et b=2- 7/4 d'où b = 8/4 - 7/4 et b = 1/4