CONTROLE

A) Traduire : A ( x_A ; y _A) a pour image B (- x_A ;- y _A) dans la symétrie _O .

B) voir cas par cas :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Si nous écrivons : T : A B ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ; telle que AB = AB ( x + x A , y + y A ) = ( x ,y) a )faites une représentation graphique : par la représentation graphique. Procédure : On trace le vecteur « v » ; on place le point A. A partir du point « A » , on trace une parallèle au vecteur « v » dont la longueur est égale à la norme du vecteur ; (voir ; tracer d’un parallélogramme) On relève les valeurs des coordonnées du point B sur le repère : xB ; yB ; que l’on écrit B ( xB ; yB) b)déterminer la position du point B détermination de la position du point « B » par le calcul : ( Voir le calcul des coordonnées du vecteur AB) Sont donnés : ( 2 ,-3) et « A (1 ; 2 ) » à pour image dans la translation de le point B ( xB ; yB ) Les coordonnées du vecteur AB sont : (xB –1 ) ; (yB - 2) Nous savons que AB = on peut donc écrire AB (xB –1 ) ; (yB - 2)= ( 2 ,-3)  si et seulement si (xB –1 ) = 2 ; soit xB –1  = 2 ; xB = 3 et (yB - 2)=-3 ; soit yB - 2 = -3 ; yB = - 1 Conclusion : Les coordonnées du point B sont : ( +3 ; -1)

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

Pré requis :

a) calcul des coordonnées d’un vecteur

b) le vecteur colinéaire opposé.

c) le vecteur nul .

Comment opère –t –on pour rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » ? :

Un point « I » d’abscisse x_I et d’ordonnée y_I étant donné : I (x_I ; y_I ) .

Tout point A ( x_A ; y_A) a pour image dans la symétrie centrale _I , le point B tel que :

IA = - IB

Ou IB = - IA

Remarque : si je connais les coordonnées du vecteur IA , je peux soit en déduire, ou calculer les coordonnées du vecteur IB .

2°)Coordonnées du vecteur IB

sur «l’axe  x_i » x_B - x _I = ( x_B ) – (x_I )

sur l’axe y_i = y _B - y _I = ( y_B) – (y_I 2)

III) SYMETRIE PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE

A ( x_A ; y _A) a pour image B (- x_A ;- y _A) dans la symétrie _O .

Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit de prendre les valeurs « opposées » aux coordonnées données .

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

Soit un point A ( x_A ; y _A) quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’ symétriques axiales dans un repère cartésien .

1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( x_A ; y _A) a pour image le point A’( x_A ; opp. y _A) ; ou A’( x_A ; - y _A) 

2°)1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( x_A ; y _A) a pour image le point A’’(opp. x_A ; y _A) ; ou A’( - x_A ; + y _A) 

EVALUATION

1°)Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A ; notée « B » dans la translation T

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

par la représentation graphique.

Sont donnés : ( 2 ,-3) et « A (1 ; 2 ) » à pour image dans la translation de le point B ( x_B ; y_B )

Les coordonnées du vecteur AB sont : (x_B –1 ) ; (y_B - 2)

Nous savons que AB = on peut donc écrire

AB (x_B –1 ) ; (y_B - 2)= ( 2 ,-3)  si et seulement si

(x_B –1 ) = 2 ; soit x_B –1  = 2 ; x_B = 3

et (y_B - 2)=-3 ; soit y_B - 2 = -3 ; y_B = - 1

Conclusion : Les coordonnées du point B sont : ( +3 ; -1)

2°) Rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » : On donne I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1).

a) solution graphique .

b) par le calcul .

Solution graphique

PAR LE CALCUL :

Calculs des coordonnées du vecteur IA , pour t en déduire, ou calculer les coordonnées du vecteur IB .

1°)Calcul des coordonnées du vecteur IA :

sur « x_i » x_A - x _I = ( +2 ) – ( +3) = ( -1 ) ( SOS calcul numérique?)

sur y_i = y _A - y _I = ( + 1) – ( + 2) = ( -1)

conclusion :

les coordonnées du vecteur IA ( -1 ; -1 ) ; les coordonnées du vecteur « opposé » IA est – IA = ( +1 ;+1)

« l’opposé du vecteur ? ? ? »

2°)Coordonnées du vecteur IB

sur « x_i » x_B - x _I = ( x_B ) – ( +3)

sur y_i = y _B - y _I = ( y_B) – ( + 2)

soit IB ( x_B-3 ; y_B –2)

le vecteur IB ( x_B-3 ; y_B –2) = le vecteur– IA ( +1 ;+1) si et seulement si :

x_B-3  = 1 et si y_B –2 = 1 :

après calculs : x_B  = 4 et y_B = 3 ;

les coordonnées de B sont ( 4 ;3 )

Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point I sont ( + 4 ; + 3 )

3°) Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère .

a) Solution graphique

b) Par le calcul

Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B) dans la symétrie centrale est B ( opp.+3 ; opp.+2) Soit B ( -3 ; - 2)

4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point A ( +3 ; +2) :

par rapport à l’axe ( O ) et par rapport à l’axe ( O )

Par le calcul.

a) A ( +3 ; +2) a pour image dans la symétrie par rapport à ( O ) le point A’ ( +3 ; opp. +2)

(* -2 est l’opposé de +2)

les coordonnées de A’ sont sur x = + 3 ;et sur y = - 2

b) A ( +3 ; +2) a pour image dans la symétrie par rapport à ( O ) le point A’’ ( opp.+ 3 ; +2)

(* -3 est l’opposé de +3)

les coordonnées de A’’ sont sur x = - 3 ;et sur y = + 2

Par le graphique .

( voir symétrie axiale ; orthogonale ; réflexion)