GP1/3

ENVIRONNEMENT du dossier :

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Sciences       

Tableau       173c

 

DOSSIER  LES GRANDEURS PROPORTIONNELLES

                                              ….DEVOIR ( 1)

 

 

 

 

Interdisciplinarité           

Corrigé DEVOIR 

 

 

 

 

1 )Qu’est ce qu ’ « un rapport » ?

On appelle « rapport » la division d’un nombre par un autre nombre.

Le modèle mathématique d’un « rapport » est « une fraction ».

 

2 )Donner un modèle mathématique d ’ un rapport.

Traduction en langage   mathématique :

 

3 )Qu’appelle-t-on  « rapports égaux » ? On appelle « rapports égaux » des divisions de  deux nombres qui ont le même quotient et dont le reste des divisions est nul .

(on dit aussi :quotient exact )

 

 

4 )Donner un modèle mathématique  de «  rapports égaux » 

Le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions 

5 )Donner une suite de rapports égaux.

 

6 )Que peut-on former à partir  d’une suite de rapports égaux ?

Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux   nous pouvons  dire que nous avons  une « suite de rapports égaux » , le quotient de chaque rapport étant identique , c’est un nombre dit constant appelé « k ».

 

 

7 )Traduire en langage mathématique ce que vous avez énoncé précédemment

Traduction en langage mathématique :

 

8 ) Que peut - on construire avec une suite de rapports égaux ?(donner le modèle mathématique)

Avec une suite de rapports égaux ,on forme un autre rapport(ou fraction) égal à chacun d’eux  ( de chaque rapport)  qui aura  pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs  .

 

traduction en langage mathématique :

si;   alors on a 

 

10 ) Pour vérifier si une suite de rapports sont égaux ,que fait - on ?

 =  =  =  ;   alors on a 

On fait la somme des numérateurs sur la somme des dénominateurs  et l'on effectue la division; on compare avec le résultat d'une division d'une fraction choisie au hasard.

 

11 ) Que signifie cette écriture mathématique ?

si   =  =  =  ;   alors on a 

 

 

12 ) Comment peut-on vérifier si une suite de nombres (ou de grandeurs) est proportionnelle ?

(Donner un exemple).

On fait la somme des numérateurs sur la somme des dénominateurs  et l'on effectue la division; on compare avec le résultat d'une division d'une fraction choisie au hasard

 

 

1°) Les deux suites  [ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]  et  [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont - elles des suites de nombres proportionnelles ?

9

11

19

25

31

 

27

33

57

75

93

 

 

 

 

 

 

 

 

1) somme des numérateurs :   9+11+19+25+31= 95

2 )somme des dénominateurs =  27+33+57+75+93= 285

3 )division des deux sommes        285:95 =3

4 )division d'un rapport :            27:9 = 3

 

5 )on compare les deux  résultats : 3 et 3 ; les quotients sont égaux

6 ) Conclusion : la suite de rapports est une suite de rapports égaux

 

 

A) Si l’on paye   dans un restaurant  2400 F  pour  un mois (30  jours)de pension ,que paiera-t-on pour :

5jours ; 12jours ; 21 jours

 

2400 F

X1

X2

X3

 

30

5

12

21

 

 

2400 :30 = X1 :5  ; X1 = 2400 fois 5  : 30 = 400F

X2=        960 F                                 X3 = 1680 F

 

 

 

 

Des connaissances en sciences sont nécessaires pour comprendre le travail demandé ;   (à vous de vous informer :

 

 

 

1°) Calculer la mesure de la d.d.p. aux bornes d’un résistor dans les cas suivants :

calibre

Echelle

lecture

corrigé

3 V

[ 0 ; 30 [

22 divisions

 =  ;

    x =22,1 V

 

 

 

2°) Quelle est l’intensité du courant traversant le circuit ?

Calibre

Echelle

lecture

0,1 A

 ( 0 ; 100)

57 divisions == =  ;

    x = 0,057  A ou 57mA

 

 

 

 

 

2°)  Une voiture consomme 18,4 l d’essence pour effectuer le trajet Paris - Caen  ( 230 km) .Quelle sera sa consommation pour effectuer le trajet  Paris  - Cherbourg  long de 340 km ?

Que devons nous admettre pour résoudre le problème ?

 

 On pose:        =  ;

 

x = 27,2 l

Conclusion:

Nous considérons que la consommation est constante

La consommation pour 340 km parcourus sera de 27,2 litres

 

 

 

3°) La masse et le volume d’un corps sont deux grandeurs directement proportionnelles .Le coefficient de proportionnalité s’appelle la « masse volumique » du corps.

 

a)    Calculer le volume d’un corps de masse  52 kg dont la masse volumique est  de 23 kg /dm3

On pose :

 =  ;     =  ;

 

Calcul: 52 fois 1 :23

Volume = 2,2608696 dm3

 

 

 

 

 

   I )  Enoncer les règles faisant intervenir les extrêmes et les moyens.

    (donner un modèle mathématique et ensuite accompagner ces modèles d’application numérique.)

 Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal aux produits des moyens.

 

Traduction mathématique :

    si   =   alors ad = cb

 

   II ) Dans quel cas dit-on que l’on recherche la quatrième proportionnelle ?

Lorsque l’on connaît 3 valeurs sur 4 ,dans une proportion, on peut trouver la « quatrième » valeur . On dira «  rechercher la quatrième proportionnelle. »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 )  De l’égalité 3,4 x 7,8  =  2,4 x 11,05 ; déduire toutes les proportions possibles.

 

On sait que  est égale à       si     

           

               Extréme.1  "fois"   Extréme.2  =  Moyen .2  "fois"  Moyen.1 ;

 

a)  On remplace  :  3,4  "fois"  7,8  =  2,4  "fois"  11,05

b) on remplace  dans :

                                est égale à  

On sait que : Dans une proportion, on peut permuter les « extrêmes »«  ( l’égalité reste vraie)

traduction mathématique

si   =   alors    =    

 si  =  alors si  =

 

Dans une proportion, on peut permuter les « moyens » ,(l’égalité reste vraie)

traduction mathématique

si   =   alors    = 

donc  :     si  =   alors si  =  ou  =

Solutions

=

 

=

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Calculer x dans chacun des  cas suivants :

 

 

 

 

 = 

x = 2,3 fois 15 : 7,5 =

4,6

 =   

x= 87,12:9,9

8,8

 = 

x= 1,76:6

0,88/3 = 88/300

 

 

 

 

 

 

1 )Donner un exemple d’une suite de nombres.   

«  S1 » = {  2 ; 3 ;4 }

2 )Citer deux suites de nombres  qui ne forment pas une suite de rapports égaux.

 «  S1 » = { 2 ; 3 ;4 } ; «  S2 » = { 4 ; 6 ;9 }

 

3 )Citer deux suites de nombres qui forment une suite de rapports égaux.

«  S1 » = { 2 ; 3 ;4 } ; «  S2 » = { 4 ; 6 ;8 }

Forment la suite de rapports égaux  S ={  ;  ;  }

 

4 )A quoi est égale le rapport de deux suites de nombres proportionnels ? Deux suites de  nombres  «  S1 » = { ( y1 ; y2 ;y3 ; ....)} et « S2 » »=  {(  x1 ;x2 ;x3x ;......)}forment une  suite de nombres proportionnels si elles  forment une suite « Sproport. » de rapports égaux .

 

 

5 ) Donner le modèle mathématique représentant le rapport de deux suites de nombres proportionnels.

Traduction mathématique :

 

Sproport.  =   si  ===.........

 

6 ) Q’ appelle - t - on      « coefficient de proportionnalité »

 On appelle « coefficient de proportionnalité » le nombre constant représentant la valeur commune de tous les rapports de deux suites de nombres qui forment une suite de nombres proportionnels.

 

7 ) par quelle lettre la désigne -t  - on ? la lettre "k"

 

 8 ) Qu’appelle -t -o n « grandeur » ?

Définition de « grandeur » :on appelle « grandeur » un nombre associé à une unité de mesure.                                      

9 ) Quand dit - on que deux grandeurs sont proportionnelles ? Lorsque deux grandeurs de nature différentes : ( exemples un prix en fonction de la masse  soit des mesures en  kg et f ); si elles varient en même temps dans un même rapport (exemple 10 francs pour un kilogramme , noté : 10 fr.kg-1 ) ,on dira que nous avons des grandeurs proportionnelles.

 

10 ) Quand dit - on que deux grandeurs ne sont pas  proportionnelles ?

 

11 )Que faut - il pour que deux grandeurs soient proportionnelles ?

deux grandeurs sont « proportionnelles »  si les mesures de chacune d’elles forment  une suite de rapports égaux.

 

12 )On nomme :  S1» = { ( y1 ; y2 ;y3 ; ....)} et  S2 =  {(  x1 ;x2 ;x3 ;......)} que faut - il pour que les deux    suites  représentent  deux suites de nombres proportionnels ?

Pour que les deux suites représentent une suite de nombre proportionnelle il faut que

  = k

 

13 )Que signifie l’écriture :   = k

 si   = k   alors S1 et S2 sont deux suites qui forment une suite de rapports égaux

  Les rapports étant des nombres, les résultats étant constants   , ces nombres étant des grandeurs   , nous dirons que « ces grandeurs sont proportionnelles ».

 

 

1° )  Les deux suites  [ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]  et  [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont - elles des suites de nombres proportionnelles ?

S1

9

11

19

25

31

S2

27

33

57

75

93

Calcul S2 sur S1

3

3

3

3

3

Conclusion : les deux suites sont proportionnelles

 

2°)   A et B étant des grandeurs directement proportionnelles , compléter le tableau :

Mesure de A

.7

21:3,5

35

63

70

280

700

Mesure de B

2 fois 3,5

6

10

18fois3,5

20

80

200fois 3,5

Recherche de k

 

 

B fois 3,5 = A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Idem.

 

 

10

11

15

24

27

2

2,2

3

4,8

5,4

 

 

3 fois 5=15

 

 

 

4°) La suite de nombres S1  [3,5 ;5,7 ;4 ;9] est proportionnelle à la suite de nombres S2 [a ;b ;c ;d] Le coefficient de proportionnalité S1 sur S2  est de  3 . Calculer a ;b ;c ;d

 

3,5

5,7

4

9

K=3

10,5

17,1

12

27

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

PROBLEMES :

 

A ) La longueur (L) du cercle est donnée en fonction du  diamètre (D); compléter le tableau suivant :

 

D

5

10

12

25

28,2

L

15,7

31,4

37,68

78,5

88,548

 

Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?

Les grandeurs sont proportionnelles  :puisque "pi" est égal à "k" 

 

B ) Un cycliste parcourt 12km en 45mn .Un autre 17km en 50mn .Les distances parcourues sont-elles  directement proportionnelles aux durées du parcours ?

 

12: 45 =0,26666666

17:50 =0,34

Conclusion: Les distances parcourues ne sont pas  directement proportionnelles aux durées du parcours

Partages proportionnels:

 

Trois associés ont investi dans la même entreprise :le premier :10 000 F  ,le deuxième :       14 000 F ;le troisième :26 000 F. Ils ont gagné 13 680F.

     Partager le gain proportionnellement aux mises des associés .

 

Somme investie :

 

14000+10000+26000=50000

 

Le premier aura :

fois 10000

2736

Le deuxième aura

fois14000

3830,40

Le troisième aura

fois 26000

7113,60

 

                  Total =

13680