Leçon |
Titre |
N°22 |
CORRIGE : LES RELATIONS TRIGONOMETRIQUES dans le triangle rectangle . |
CONTROLE:
1°) Les angles ( désignations) .
Mots à
placer :
AC. ( ou CA ) ; l’angle droit ; côté adjacent ; Bêta ; alpha ; AB ( ou BA ) ; consécutifs.
2°) Identification du « Côté opposé » ,
« côté adjacent » , « hypoténuse » d’un angle
Pour un triangle rectangle CBA ; rectangle en
B :nommer les côtés :
Compléter le tableau suivant avec les mots : Côté opposé
( à ) ; Côté adjacent (à ) ; côté adjacent
à 90° ; Hypoténuse ; Côté adjacent ( à ) ; Côté opposé (
à )
|
Si l’on
se fixe sur un angle ; on nommera les côtés de la façon suivante : |
||
|
Pour l’angle droit |
Pour l’angle |
Pour l’angle |
AC est appelé : |
Côté opposé à 90° : Hypoténuse |
Hypoténuse |
Hypoténuse |
AB est appelé |
côté adjacent à 90° |
Côté adjacent (à ) |
Côté opposé ( à ) |
BC est appelé |
côté adjacent à 90° |
Côté opposé ( à ) |
Côté adjacent ( à ) |
3°)citer les 3
principales relations trigonométriques sur le sinus , cosinus , tangente ; donner
le modèle symbolique mathématique.
a) Sinus
d’un angle aigu : Le sinus d’un angle ( noté : sin. ) est un nombre égal au
quotient du rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur
de l’hypoténuse .
Sin.
=
b) Cosinus d’un angle aigu : Le cosinus
d’un angle ( noté :
cos. ) est un nombre égal au quotient du rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l’hypoténuse
. cos. =
c) La tangente d’un angle aigu : La tangente
d’un angle ( noté :
tan. ) est un nombre égal au quotient du rapport de
la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur
du côté adjacent à cet angle .
tan.
=
4°) Appliquer au
triangle rectangle ACB les relations précédentes :
A quel rapport est égal ? :
; ; ; ; ;
- Dans le triangle rectangle CBA , rectangle en B , on aura les égalités
suivantes :
-
; ;
-
; ;
5°) Passage d’une valeur décimale d’un sin a; cos a, tan a, à la valeur en degré de l’angle a
Compléter les phrases suivantes :avec les mots : en degré ; valeur décimale .
Lorsque l’on connaît la valeur décimale du sinus , du
cosinus ou de la tangente d’un angle ,en consultant une table numérique ou une calculatrice scientifique obtenir
la valeur en degré de cet angle .
Inversement si je connais la valeur en degré de l’angle je
peux obtenir avec la table numérique ou la calculatrice la valeur décimale du sinus , cosinus
ou tangente de cet angle .Le chapitre suivant aborde ce travail.
6°) Détermination
de la valeur décimale d’un sinus , cosinus et tangente à partir de la
valeur en degré de l’angle aigu.
Les valeurs des rapports trigonométriques ( sinus , cosinus
, tangente ) d’un angle aigu sont données par la
calculatrice , ou une table numérique.
Sur une calculatrice , les angles peuvent être exprimés en degrés décimaux , grades ou radians
.
L’unité d’angle utilisé couramment est le degré décimal.
7°) pour des calculs en trigonométrie il faut mettre la calculatrice en mode DEGRE
8°) Compléter le
tableau ( voir votre calculatrice)
Pour trouver le sinus d’un angle aigu |
Introduire la mesure de l’angle ( en degré) |
Puis
presser sur la touche « SIN » |
Pour trouver le cosinus d’un angle aigu |
Introduire la
mesure de l’angle ( en degré) |
Puis
presser sur la touche « COS » |
Pour trouver la tangente sinus d’un angle aigu |
Introduire la
mesure de l’angle ( en degré) |
Puis
presser sur la touche « TAN » |
7°) mettre la calculatrice en mode DEGRE
Détermination de la valeur de l’angle en degré connaissant la valeur du sinus ou
cosinus ou tangente avec la calculatrice : Donner
la touche remplissant la même fonction
sur votre calculatrice : A partir de
la valeur décimale
« sinus » pour obtenir la
valeur en degré appuyer sur la
touche : INV . SIN ; ou SIN-1 ;
ou ASN ; A partir de la valeur décimale « cosinus » pour obtenir la valeur en degré appuyer sur la touche INV . COS ; ou
COS-1 ; ou
ACN ; A partir de la valeur décimale « tangente » pour obtenir la valeur en degré appuyer sur la touche INV . TAN ; ou
TAN-1 ; ou
ATN ; |
8°)Utiliser la calculatrice
pour trouver l’angle C dont le sinus est 0,876 5 , l’angle A dont le cosinus est 0,423 6 et l’angle
C dont la tangente est 1,973 2
Solution :
- sinus
0,876 5 = 61,22 30002674563870029460466444187° » 61,22° ; l’angle A
»
61,22°
- cosinus 0,423 6 = 64,9379198941684120820136530194404 » 64,94 ° ; l’angle
B »
64,94 °
- tangente 1,9732 =63,1245186381872560194775281181102 » 63,12° ; l’angle C
»
63,12 °
9 °) Compléter les
phrases suivantes sur les Calculs
d’éléments d’un triangle rectangle :
avec les
mots : 180° ;
aigus ; Pythagore ; complémentaires ;( somme des 2 angles aigus)
.
Dans un triangle rectangle si l’on connaît 2 côtés on peut
avec « Pythagore » trouver la longueur
du troisième coté . La somme des
angles dans un triangle est de 180° . La
somme dans un triangle rectangle est de 180° = 90° + ( somme des 2
angles aigus) .
(ces deux angles aigus ,dont leur somme est de 90°, sont
appelés : angles complémentaires)
Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur de deux côtés , j’applique « Pythagore »
pour trouver la longueur du troisième côté.
Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur de deux côtés , je peux calculer le sinus ou
le cosinus ou la tangente pour
trouver la valeur d’un des angles aigus .
1 °) Utiliser la calculatrice pour trouver le sinus ,
cosinus et tangente des angles : 7° ; 30° ; 84°.
Angle : |
Sinus |
Cosinus |
Tangente |
7° |
0,12186934340514 |
0,99254615164132 |
0,12278456090290 |
30° |
0,5 |
0,86602540378443 |
0,57735026918962 |
84° |
0,99452189536827 |
0,10452846326765 |
9,51436445422258 |
( en
général on arrondit au 0,001 près )
2°)Utiliser la calculatrice pour trouver l’angle C dont le sinus est
0,876 5 , l’angle A dont le cosinus est
0,423 6 et l’angle C dont la tangente est 1,973 2
Solution :
- sinus
0,876 5 = 61,22 30002674563870029460466444187° » 61,22° ; l’angle A
»
61,22°
- cosinus 0,423 6 = 64,9379198941684120820136530194404 » 64,94 ° ; l’angle
B »
64,94 °
- tangente 1,9732 =63,1245186381872560194775281181102 » 63,12° ; l’angle C
»
63,12 °
3°) En utilisant la calculatrice ( donner le résultat arrondit à 0,000 1 près )
( a :lire
angle alpha )
Angle a |
0° |
15° |
30° |
45° |
60° |
75° |
90° |
Sin a |
0 |
0,2588 |
0,5 |
0,7071 |
0,8660 |
0,9659 |
1 |
Cos a |
1 |
0,9659 |
0,8660 |
0,7071 |
0,5 |
0,2588 |
0 |
Tan a |
0 |
0,2679 |
0,5774 |
1 |
1,7320 |
3,7321 |
Infini. |
4°) En utilisant la calculatrice , compléter le tableau (
arrondir à 0,1 près )
|
sina = 0
,213 4 |
sina= 0,54
00 |
sina =0,
9687 |
L’angle a est
égal à |
12,3° |
32,7° |
75,6° |
|
Cos a = 0
,213 4 |
Cos a= 0,54
00 |
Cos a =0,
9687 |
L’angle a est
égal à |
77,7° |
53,1° |
14,4° |
|
Tan a = 5
,213 4 |
Tan a = 1 |
Tan a = 0,
1187 |
L’angle a est
égal à |
79,1° |
45° |
6,8° |
Utilisation de table
de trigonométrie .
3 °) « SINUS d’un
angle » :
A )Recherche du sinus à partir d’un angle |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
1° |
0,0175 |
0,17452406 |
10° |
0,1736 |
0,1736481777 |
24° |
0,4067 |
0,406736643 |
30° |
0,500000 |
0,50000000 |
45° |
0,7071 |
0,707106781 |
60° |
0,8660 |
0,866025404 |
90° |
1 |
1 |
B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 ) |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
0,2419 |
14 ° |
Forme décimale : 13,99870707 forme sexagésimale : 13°59’55’’35/100 |
0,8290 |
56° |
55,99615045 55°59’46’’14 /100 |
0,289256198 |
16°48’48’’35/100 |
|
0,5 |
30° |
|
0,866 |
59,99708907° |
59°59’49’’ |
4°) « COSINUS d’un angle » :
A )Recherche du cosinus à partir d’un angle |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
1° |
0,9999 |
0,999847695156391239157011558813915 |
10° |
0,9848 |
0,984807753012208059366743024589523 |
24° |
0,9135 |
0,913545457642600895502127571985317 |
30° |
0,8660 |
0,866025403784438646763723170752936 |
45° |
0,7071 |
0,707106781186547524400844362104849 |
60° |
0,5000 |
0,5 |
90° |
0 |
0 |
B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 ) |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
0,2419 |
76 |
76,0012929273909452030608943275762 |
0,8290 |
34 |
34,0038495510334231386333849747562 |
0,289256198 |
73 |
73,1865690727659438937455877084968 |
0,5 |
60° |
60° |
0,866 |
30) |
30,0029109311880257827344380174439 |
5° ) « Tangente d’un angle » :
A )Recherche d’une tangente à partir d’un angle |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
1° |
0,0175 |
0,0174550649282175857651288952197278 |
10° |
0,1763 |
0,176326980708464973471090386868619 |
24° |
0,4452 |
0,445228685308536163922367030645666 |
30° |
0,5774 |
0,577350269189625764509148780501957 |
45° |
1,0000 |
1,000 |
60° |
1,7321 |
1,73205080756887729352744634150587 |
90° |
Infini |
Infini |
B) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal |
Avec la
table. |
Avec la
calculatrice scientifique |
0,2419 |
Entre 13 et 14° |
13,598621846296300005000876844386 |
0,8290 |
Entre 39 et 40° |
39,6587315648276904009258333961383 |
0,289256198 |
16° |
16,1328405121331118923472311358334 |
0,5 |
Entre 26 et 27° |
26,5650511770779893515721937204533 |
0,866 |
Presque 41° |
40,8925629074563470010890415264752 |
1 |
45° |
45° |
12,56 |
Entre 85 et 86 ° |
85,4478366300075891173256624914393 |
19 |
87° |
86,9872124958166600548819457850051 |
57,2900 |
89° |
88,9984275643442281937830467049166 |
169 |
Entre 89 et 90° |
89,6609756755485497756239006787162 |
5067 |
Presque 90° |
89,9886923665345948266430392503244 |
12568 |
Presque 90° |
89,9954411378586751730828079184392 |
6°) On donne la longueur de
l’hypoténuse et la longueur d’un côté
d’un triangle rectangle.
Que représente [CA ] et [BA] pour
l’angle A ?.
Que représente [CA ] et [BA] pour
l’angle C ?.
Solution :
Observations : our
l’angle A : le segment CA
( [CA] )est l’hypoténuse , le segment BA ( [BA]) est le côté adjacent.
Pour l’angle C : le
segment CA ( [CA]
)est l’hypoténuse , le segment BA ( [BA]) est le côté opposé .
Calculs :
a) On demande de trouver la valeur
de l’angle A , en degré .
b) En utilisant les relations
trigonométriques trouver la valeur en degré de l’angle C.
Remarque :
calculer la somme des angles +
Vérifier que la somme des angles dans un triangle est égale
à 180°
Solution :
a)
Calcul de la valeur de l’angle A , en degré
.
.
Procédure : |
Solution : |
1°)inventaire des
données : [CA] est l’hypoténuse
, [BA] est le côté adjacent à l’angle A |
[CA ] = |
2°) Etablissement des
formules : ( à partir des 3 définitions) |
Sin A = ;cos A = ; tan = |
Analyse :La
relation trigonométrique
« cosinus » est la
seule formule utilisable avec les
données ., |
cos A = |
3°) calcul du cos A =
|
cos A = ; cos A =
0,680 0 |
4°)
Calculatrice : recherche de la valeur angulaire. = 47,1563569564036622080449988396549 |
= 47,16° (à vérifier sur un dessin à l’échelle ) |
b) Calcul de la valeur
de l’angle C , en degré .
.
Procédure : |
Solution : |
1°)inventaire des
données : [CA] est l’hypoténuse
, [BA] est le côté adjacent à l’angle A |
[CA ] = |
2°) Etablissement des
formules : ( à partir des 3 définitions) |
Sin C = ;cos C = ; tan C = |
Analyse :La
relation trigonométrique
« cosinus » est la
seule formule utilisable avec les
données ., |
Sin C = |
3°) calcul du sin C =
|
Sin C = ; sin
C = 0,680 0 |
4°)
Calculatrice : recherche de la valeur angulaire. = 42,8436430435963377919550011603451 |
= 42,84° (à vérifier sur un dessin à l’échelle ) |
Remarque :
les angles = 42,84° et = 47,16° ont pour
somme :
42,84°
+ 47,16° = 90,00°
soit 90°
Ce qui vérifie que dans un
triangle la somme des angles est
de :
90° + 42,84° +
47,16° = 180° ;soit 90° + 90° = 180°
7°) Calcul de la longueur d’un
côté connaissant un angle et la longueur d’un
autre côté .
Soit un triangle CBA rectangle en B .
On donne l’angle A = 42°
et [B A] =
Question : on demande de calculer la longueur du côté [
B C] .
Procédure : |
Solution : |
1°)inventaire des
données : [BA] est le côté adjacent à l’angle A. On obtient ,avec la
calculatrice, la valeur décimale de : Sin 42° : 0,669 1 Cos 42° : 0,743 1 Tan 42° : 0,9004 |
[BA ] = |
2°) Etablissement des
formules : ( à partir des 3 définitions) |
Sin = ;cos = ; tan = |
Analyse :La relation trigonométrique
« tan » est la
seule formule utilisable avec les
données . Il faut convertir tan 42°
en valeur décimale avec la calculatrice . |
tan = tan 42° = 0,900404044297839945120477203885372 |
3°) calcul de CB à
partir de l’égalité : tan = ; On remplace les lettres par les valeurs connues . |
0,9004 = |
4°)
transformation ( produit en croix) = |
20 0,9004 = 1 CB CB = |
8°) :
Soit un triangle CBA rectangle en B .l’angle A = 42°
et [C A] =
Question : on demande de calculer la longueur du côté [
B C] .
Procédure : |
Solution : |
1°)inventaire des
données : [CA] est l’hypoténuse du triangle . On obtient ,avec la
calculatrice, la valeur décimale de : Sin 42° : 0,669 1 Cos 42° : 0,743 1 Tan 42° : 0,9004 |
[CA ] = |
2°) Etablissement des
formules : ( à partir des 3 définitions) , On cherche CB . |
Sin = ;cos = ; tan = |
Analyse :La relation trigonométrique
« sin » est la
seule formule utilisable avec les
données . ( on connaît deux valeurs sur trois ) |
Sin = |
3°) calcul de CB à
partir de l’égalité : Sin = ; On remplace les lettres par les valeurs connues . |
0,6691 = |
4°)
transformation ( produit en croix) = |
30 0,6691 = 1 CB CB = 20,07cm |
9°)Dans le triangle rectangle ci - dessous : ( à vérifier par Pythagore )
Calculer : ; ; et puis , et .
Solution :
= |
= |
= |
» 0,384 6 |
»
0,923 1 |
» 0
, 416 7 |
» 0,384 6 |
» 0,923 1 |
» 0 , 416 7 |
|
|
|
»
0,923 1 |
» 0,384 6 |
= 2,4 |
»
0,923 1 |
» 0,384 6 |
= 2,4 |
On remarque que :
-
» 0,384 6 et » 0,384 6 , donc …=…..
-
» 0,923 1 et » 0,923 1 ; donc ……=….
10°) On considère un pentagone régulier inscrit dans un cercle de
rayon
a)Quelle
est la nature de chacun de ces cinq
triangles dont le sommet est le
centre "O" du cercle . le triangle est un
triangle isocèle .( 360 ° / 5 =
72° )
b)Donner une mesure de chacun de leurs angles . ( rappel :la
somme des angles d'un triangle est de 180 ° )
. si
l’angle au sommet 72° ; la somme des deux autres angles = 180 - 72° = 108
° ; un angle de base = 108° :2
= 54°
c)Calculer l'aire de ce pentagone . ( pour calculer "h"
la trigonométrie) .
Aire d’un triangle : il faut savoir calculer
la hauteur « h » , distance qui va du centre à la base ? ( voir
la trigonométrie )
Hypoténuse = 6 cm ; hauteur : sinus
54° = 0,809 = h / 6 ; donc h = 6 fois 0,809 = 4,85 cm ;
base : cos 54° = 0,588 = b / 6 = 6 fois 0,588 =
3,53)
Un demi triangle : ( 4,85 fois 3,53 )
/ 2 = 17,12 cm² ; il y a 10 demi - triangles équilatéral ; l’aire du
pentagone = 17,12 fois 10 = 171,2 cm²
|