Auteur :
WARME R. INFORMATIONS « LIVRE » . RESOUDRE
des PROBLEMES DU PREMIER DEGRE
de la forme : a
x = b ; a x + b = c |
||
NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
Titre |
|
N°11 |
RESOUDRE UNE EQUATION du premier degré à 1 inconnue et PROBLEMES DU PREMIER DEGRE. |
Pré requis :
a) Pour bien réussir la formation visée dans ce cours
, il faut avoir réussi les 10 premières leçons qui étaient en lien avec
le calcul numérique.
b) Il faudra aussi revoir le cours de « remise à niveau » sur
les théorèmes concernant la transformation des égalités .
CHAPITRES
1°)
Résoudre les équations du premier degré à une inconnue
. |
Info
plus ! ! ! ! |
2°) Etude des équations de la forme : ax = b et ax + b = c menant à des problèmes du premier degré. |
INFO plus !!!! |
3°) Résoudre un problème mathématique à l'aide d'une
équation du premier degré . |
INFO 1plus !!! et INFO plus 2 !!!Problèmes résolus |
4° )
ARITHMETIQUE : les partages inégaux .(résolution graphiques de problèmes
du premier degré.) |
|
COURS |
i19 ;i29
;i39 |
I Vocabulaire : Equation ; du premier degré ; à une inconnue ;
membre ; terme ; facteur . |
Info
plus ! ! ! ! |
iPré
requis au chapitre 1: revoir la leçon sur les
calculs numériques et algébriques.
i9 |
I.1. Définition de
« équation » |
:i |
Une équation est une égalité ; elle peut être
« numérique » ou « algébrique » .
Toutes les équations algébriques sont composées de chiffre (s) et lettre (s) et au moins une lettre appelée « inconnue » .
Une égalité est une équation
toujours « vraie ». Ce qu’il y a dans le premier membre est toujours égal à ce qu’il y a dans le deuxième
membre !!!
Par définition :
Une
équation possédant une inconnue ( "x"
généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur
* donnée à cette inconnue .
(* cette valeur ,
remplaçant « x » dans l’équation doit vérifier
« l’identité : égalité vraie »)
I.2. Définition d ’une « équation
du premier degré »
Définition :
Une
équation du premier degré est une égalité dont la ou les inconnues sont de puissance 1.
Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par
terme ! ! ! ! cette inconnue se
trouvée multipliées par un nombre ( 2 x ) , elle peut se trouver dans plusieurs
termes !!!
Exemples :
i On
écrit
pas la puissance 1 i Les inconnues sont
couramment appelées x, y ou z
x1
+ 3 = 0 que l’on écrit : x + 3 = 0 ;
2x1 + - y1
- 4z1 = 15 que l’on
écrit : 2x + - y - 4z = 15 ;
x1 - y1 = 6z1 que l’on écrit : x
- y = 6 z ;
2y1 + 5 = 0 que l’on écrit : 2y
+ 5 = 0 ;
Exemples
d’équations du 1er degré : à une ou deux ou trois
inconnues :
x + 3 =
0 ; 2 x - y - 4z = 15 ; x - y
= 6z ; 2y + 5 = 0
i Remarquer
et comparer avec les équations
suivantes qui sont du second
degré :
x ²+ 3 =
0 ; 2y² + 5 = 0 ; 2x + - y - 4z² = 15 ;
x² y = 6z pour qu’une équation
soit dit « du second degré »
il suffit qu’une des inconnues possède un exposant « ² ». ou qu’un terme contient un produit de deux inconnues ( exemple
x y = 6z )
i9
|
I.3. Définition de « équation du premier degré à une
inconnue » |
:i |
Condition : il
ne doit y avoir qu’une inconnue par terme, l’inconnue est toujours la même
! ! ! !
Définition : Une équation du premier degré à une
inconnue est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule
et même lettre est dont
l’inconnue est de puissance 1.
Exemples : 5x
= 8 ; - 7 x
= 14 ; x + 3 = 0 ; 2y + 5
= 0 ; ;
; 3x - x =
8 ; 3x - x = - 7x + 3 ; y +3y = 12 ;…
Résumé :
1°) Définition
d ’ une « équation » algébrique
.
Une
équation algébrique possédant une inconnue ( "x"
généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur
donnée à cette inconnue
2°)
Définition d ’
une « équation du premier
degré »
Une
équation du premier degré possède un ou plusieurs termes contenant une ou plusieurs inconnues dont la puissance n’ est pas supérieur
à « 1 » .
3°)
Définition d ’
une « équation du premier
degré à une inconnue »:
Une équation du premier degré à une inconnue
est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule
et même lettre est dont l’inconnue est de puissance 1 .
Remarque : « Résoudre
une équation » :
Résoudre
une équation du premier degré à une inconnue c’est rechercher par
transformation et calcul la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité vraie.
i9 |
I.4. Définition de « membre » ;
« terme » ; « facteur » . |
Ces
définitions ont déjà été étudiées , lorsque vous entrez en formation , pendant la
phase d’homogénéisation !!!! voir le cours N°1 sur
les égalités.
iDans une
égalité l’expression algébrique à gauche du signe « égal » est appelé
« premier membre » .
Dans une égalité l’expression algébrique à droite du signe « égal » est appelé
« deuxième membre » .
Dans une équation , le signe
" = " sépare les deux
"membres".
Exemple :
A gauche de = : le Premier
membre 3 x = 56 A droite de =
: le deuxième membre .
Exemple
1 : Dans l’équation 3 x
= 56 ;
Chaque membre possède un seul terme . « 3x » et « 56 »
Le premier membre n’est composé que d’un seul terme « 3x » : 3
et x sont appelés : « facteur »
Le deuxième membre est un terme : c’est un nombre
« 56 ». (quand
le nombre ou lettre est seul , on déclare que ce terme est aussi
« facteur » , puisque l’on peut le multiplier par
« 1 ».
(exemple : prenons l’écriture suivante x + 7
= …….. ; x fois 1 =
x et
7 fois 1 = 7 : donc les
terme « x » et « 7 »
sont aussi « facteurs » parce qu’ils ne sont pas associés à d’autres
facteurs autre que « 1 »)
Exemple
2 : Etudions l’équation 3 x + 7
= - 4 x + 12 -
3 ,
Pour identifier les
termes il faut transformer les 2 expressions
en 2 sommes algébriques.
On transforme l’expression
« x + 7 » en « somme » : (+x) + ( +7) et
l’expression - 4x + 12 - 3 en
« somme » : (- 4 x ) +
( + 12) + ( - 3)
L’égalité 3 x + 7
= -4 x + 12 -
3 devient l’ égalité : (+3 x) + ( +7) = (- 4 x ) + ( + 12) + (
- 3)
Le premier membre est composé de deux
termes qui sont : « ( +3x )» et
« (+7) » : (« 3 » et
« x » sont appelés :
« facteur » ) et (« +7 » est un « terme »
et aussi « facteur »)
Le deuxième membre est composé de trois termes qui sont : « - 4 x » ;
« +12 » et « -3 »
On retiendra
les définitions suivantes :
Définitions
« Terme » : Un terme est composé de un ou plusieurs
facteurs ., il se situe à gauche et ou à droite du
signe + dans la somme algébrique.
« Facteur » : Un facteur est un nombre ou une lettre situé à gauche et à droite du signe ´
. ( on dit qu’un terme est constitué d’un produit de
facteurs )
Remarque importante : il faut
toujours penser à changer l’expression algébrique en somme algébrique si l’on
veut identifier sans peine les termes et les facteurs.
+ACTIVITES
« recherche de la valeur qui vérifie l’égalité vraie »
En calcul ,on laisse un « trou » , on demande de
trouver le nombre manquant !
En algèbre
on remplace le trou par une lettre
« x » ou « y » ou « z » . Et on demande de remplacer la lettre
par le nombre manquant !
|
En calcul |
En algèbre : |
Résultat ( dit
aussi « solution ») |
|
Soit l ’ opération |
En primaire on pose une opération à trou |
En
début de collège on pose |
Au collège et au lycée
on bouche le trou par une lettre. ( x ou y , z…) On
prend généralement la lettre
« x » . |
Pour
trouver le résultat on devine que le nombre manquant est : (il
faut vérifier ,c’est à dire : mettre en place
la valeur manquante , et puis on calcule ensuite on compare le résultat avec
ce qui est demandé) |
On reconnaît l’addition |
|
|
|
|
2 + 3 = 5 |
2 + …..= 5 |
2 + __ = 5 |
2 + x = 5 |
5 - 2 = 3 En calcul : on bouche le trou
avec « 3 »
, En algèbre :
on écrit que x = 3 ; On dit :
« ixe vaut 3 » |
On reconnaît une soustraction |
|
|
|
|
7 - 4
= 3 |
7 - …… = 3 |
7 - ___ = 3 |
7 - x = 3 |
7 - 3 = 4 En calcul on bouche le trou par
« 4 » , En algèbre on écrit que x = 4 On dit : « ixe vaut
4 » |
7 - 5 = 2 |
….- 5 = 2 |
___ - 5 = 2 |
x - 5 = 2 |
5 + 2 = 7 En calcul on bouche le trou par
« 7 » , En algèbre on écrit que x = 7 On dit : « ixe vaut
7 » |
On reconnaît la multiplication |
|
|
|
|
3 ´ 6 = 18 |
3 ´ ….. =
18 |
3 ´ ____ =
18 |
3 x = 18 |
18 ¸ 3 = 6 En calcul : on bouche le trou par
« 6 » , En algèbre : on écrit que x = 6 On
dit : « ixe vaut 6 » |
6 ´ 4 = 24 |
….. ´ 4 = 24 |
___ ´ 4 = 24 |
x ´ 4 = 24 ou 4x = 24 |
24¸4 = 6 En calcul : on bouche le trou par
« 6 » , En algèbre : on écrit que x = 6 On
dit : « ixe vaut 6 » |
On reconnaît la division . |
|
|
|
|
16 ¸ 2 = 8 |
16 ¸ …. = 8 |
16 ¸ ___ = 8 |
16 ¸ x = 8 |
16 ¸8 =_2 En
calcul : on bouche le trou par « 2 » ,
En algèbre : on écrit que x = 2 On
dit : « ixe vaut 2 » |
14 ¸ 2 = 7 |
…..¸ 2 = 7 |
____¸ 2 = 7 |
x ¸ 2 = 7 |
2 ´ 7 = 14 En
calcul : on bouche le trou par « 14 » ,
En algèbre : on écrit que x = 14 On
dit : « ixe vaut 14 » |
C’est ainsi que l’on cherche à résoudre ; par exemple : 2 x = 7
; 2 + x = 7 ; x - 2 =
7 ; x ¸ 2= 7 ; 2 - x = 7 ; ……
i9 |
II. Résoudre les principaux types d'équations
du premier degré à une
inconnue. |
Définition : « Résoudre
une équation du premier degré à une inconnue » c'est rechercher après
transformation et calcul une valeur de "x" qui vérifie que
l'égalité numérique est
"vraie". |
Il faut donc "vérifier" si la valeur
proposée convient : pour cela on remplace « x » par la valeur
proposée et l’on effectue un calcul ,si l’égalité est vraie ,la valeur de
"x" proposée , est validée. .
Toutes les résolutions se ramènent ,
toujours après transformation , et calculs successifs au modèle " x
= ……….."
On peut recenser 11 exercices types à savoir résoudre
.
le premier exercice type
est évident et il ne fait pas l'objet d'une étude particulière .( le 1 est élément neutre de la multiplication)
Exemples
d’équations |
Modèles
types |
La
solution est |
Résolution
de l’exemple : |
Pré requis : la multiplication |
|
|
|
1 x
= 7 |
a x = b |
donc x =
b /a ou |
x = ;
x = 7 |
5 x =
45 |
a x =
b ou x a = b |
donc x =
b /a ou |
x = ; x = 9 |
Pré requis : l ’ addition |
|
|
|
5+ x =
45 |
a + x =
b ou x + a =
b |
Donc x =
b - a |
x = 45 - 5 x = 40 |
|
|
|
|
5 - x =
45 |
a - x =
b |
Si b >
a impossible |
Voir les nombres relatifs. |
8 - x =
6 |
a - x =
b |
Si a
< b |
On
devine que x = 2 |
x - 5 =
45 |
x –
a = b |
donc
x = b + a |
x = 5 + 45 ; x = 50 |
Pré requis : le produit en
croix |
|
|
|
Exemples : |
On reconnaîtra la forme mathématique |
Transformation de la forme mathématique. |
Résolution |
|
. |
: c x
= (b a) Donc x = (b a) /c |
2 x = 5´ 6 2x =
30 ; x = 15 |
= |
= |
donc x =
a c / b |
2 ´ 5
= 6 ´ x 10 = 6 x x = 10 / 6 |
= |
= |
donc x =
b a /c |
5´ 6 = 2x 30 = 2 x x = 15 |
= |
= |
donc
x = c a /b |
6 x = 2 ´ 5 6x
= 10 x = ( 10 / 6 ) |
On n’oubliera pas de
vérifier que la valeur de « x » trouvée, vérifie l’égalité
« vraie » . On remplace, la valeur de « x » dans
l’équation de départ et puis ensuite on fait le calcul . Pré requis : transformer pour se
ramener au produit en croix. |
|||
= 8 |
= b devient
|
donc x = b a |
= ; x ´1 = 5 ´
8 ; x = 40 |
=2 |
=b |
donc x = a / b |
= ;
1 ´ 5 = x ´ 2 ;5
= 2x ; x = ( 5 : 2) ; x
= 2,5 |
Ces 11 exercices sont traités
successivement à la suite
de ce chapitre .
Lorsque l’on a trouvé un
nombre pour « x » qui peut
être la solution de l’égalité ; il faut vérifier si l’égalité est vraie . Pour cela il suffit
tout simplement de remplacer « x » de l’équation par le nombre
trouvé est de faire le calcul .La conclusion s’impose d’elle même :
-
si
la valeur donnée à « x » vérifie l’égalité vraie «la solution
est la valeur trouvée »
-
si la valeur donnée à
« x » ne vérifie pas l’égalité vraie , la
procédure pour trouvé le nombre est fausse , il y a erreur , il faut
recommencer .
exemple :
on
donne =2 ;
on transforme et calcul tel que =
; donc : 1 ´ 5 = x ´ 2 ;
donc 5 = 2x ; on transforme x = ( 5 : 2) ; on trouve x = 2,5
vérification : = ?
si
« x » = 2,5 ; on
remplace = ? ; on
trouve « 2 »
ainsi : = 2 ; et =2 ; donc « x » = « 2 »
est solution de l’équation.
remarque cette démarche paraît
longue ; mais il faut toujours
vérifier avant d’annoncer un résultat .
@) Pré requis
: les égalités (Théorèmes ).
i9 |
II.1. Exemples de résolutions types |
:i |
a x =
b |
Solution
: x = |
@ SOS cours |
|
Exemple : 5 x =
45 |
5
x = 45 ; on divise les deux membres par 5 : = ; x = x = 9 |
vérification : 5 x =
45 avec x = 9 5 9 = 45 |
Equation type N°3 x – a = b |
Solution : x = b +
a |
@ SOS cours |
|
Exemple : x - 5 = 45 |
x - 5 = 45 on ajoute + 5 dans chaque membre; on dit aussi que
l'on ajoute l'opposé de (-5) soit ( +5).
x - 5 + 5 = 45 +5 x +
0 =
50 x = 50 |
Vérification :
x - 5 = 45 pour "x" = 50 50 - 5 = 45 "50" est solution. |
|
Equation type N°4 ( cas particulier) a - x
= b ,
avec b > a ( cette résolution d'équation n’est possible qu’avec les nombres relatifs ) |
Solution: a - b = x ou x = a - b |
@ SOS cours |
|
Exemple
: 5 - x
= 45 |
5 - x = 45 remarque : il faut changer le (-
x) en (+ x) ; pour cela on ajoute ( + x) au deux membres de l'égalité; 5 - x + x = 45 + x 5
+ 0 = 45
+ x ensuite
on ajoute ( -45)
ou on soustrait - 45 au deux
membres de l'égalité . 5 ce qui revient au même!
5 + ( -45 )
= 45 -45 + x 5 + ( - 45 ) = 0 +
x on calcule: (voir le cours sur l' addition de
deux nombres relatifs de nombres de signe contraire) ( +5 ) + ( -45) = x ( +5 )
+ ( - 45 ) = x
; [ - ( 45 - 5 ) ] =
x ( - 40 ) =
x ; on peut écrire
aussi x = ( - 40) |
Vérification : 5 - x = 45 5 - ( -
40 ) =? = 45 voir le cours : sur la
transformation de la soustraction en
addition. 5 + ( +40)
= 45 ainsi x = "-40 " est
solution. |
|
Cas des équations de deux fractions formant une proportion.
Equation type N°5 = |
Solution : donc x = (b a)
/c |
@ SOS cours |
|
Exemple : =
|
=
on effectue le produit en croix; 2x = 56 2x = 30 voir l'équation 1; x = x = 15 |
Vérification :
=
pour "x" = 15 = 3
et = 3 ; "15" est solution. Deuxième vérification On aurait
pu faire le produit en croix: 15 fois 2 = 5 fois 6
30 = 30 |
|
= |
Solution : donc x = a c / b |
@ SOS cours |
|
Exemple : =
|
=
on effectue le produit en croix; 52 = 6 x 10 = 6x
; ou 6x = 10 voir l'équation 1; x = ; soit sous forme rationnelle ou forme décimale arrondit ( au 0,01) x = 1,67 ( voir le
cours expression d'un résultat d'une fraction) et "arrondir" |
Vérification :
Voir leçon : "division d'un nombre par une fraction." 1er calcul : = =
= = 3 2ème calcul : =3 donc solution x = ou |
|
Equation type N°7 = |
Solution : donc x = b a /c |
@ SOS cours |
|
Exemple : = Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 . |
= on effectue le produit en croix; 65 = 2 x 30 = 2x
; ou 2x = 30 voir l'équation 1; x = 15
|
Vérification :
voir l'équation n° 1; |
|
Equation type N°8 = |
Solution : donc x = c a /b |
@ SOS cours |
|
Exemple : = Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 . |
= on effectue le produit en croix; 6x = 25 ou
6 x = 10 x = ( pour
l'expression du résultat possible voir "équation N° 6" |
Vérification : |
|
Les équations dérivées des
"proportions" sont de la forme
= b et =b.
On doit se rappeler que b est égale à la fraction , ce qui a pour avantage de transformer les deux cas
particuliers :
= b devient
=
et =b devient
=
Equation type N°9 = b ou
b = |
Solution : donc x = b a ou x = ab |
@ SOS cours |
|
Exemple : =
8 Ou 8 = |
=
8 on transforme : on effectue le produit en croix; 1 x =
58
et l'on calcule : x = 40 |
Vérification : 40 / 5= ? voir table des divisions : |
|
Equation type N°10 = b ou
b = |
Solution : donc x
= a/b |
@ SOS cours |
|
Exemple : =2 Ou 2 = |
= 2 on
transforme : on
effectue le produit en croix; 5
1 =
2x et
l'on calcule : 5 = 2
x ou 2 x =
5 soit x = 2,5 |
Vérification :
5 : 2,5
= ? voir "division
décimale" : on trouve 5/ 2,5 = 2 donc "x = 2,5" est
solution de l'équation. |
|
III.
Etudes particulières sur les équations du type
: a x = b
et a x+ b = c |
INFO plus sur la résolution de
problèmes!!!! |
Nous nous intéressons , plus
précisément ,aux deux types d'équations :
ax = b et ax + b = c qui sont
les formes des équations représentant la fonction linéaire
( y = ax) et
la fonction dite affine ( y = ax +b)
III.1. équations du type
a x = b |
:i |
Exemple : Considérons
l'équation 40 x = 360
on en déduit que x = 9
La solution de l'équation
est le nombre :
9
Résolution de l’équation du type : a x = b |
L'équation
du type a x = b ( "a" et "b" sont des nombres
décimaux et "a" ¹ 0) admet une solution unique x = Cette
solution est obtenue par une seule opération : On divise
les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" . |
Exemple de problème traité de la forme ax+ b :
Vous pouvez
trouver des exemples de la vie courante !
On achète 3 sachets de friandises pour la somme totale de 37,50 €. Quel est le
prix d'un sachet de friandise ?
On pose "x" le prix
d'un sachet de friandise .
Cela nous donne l'équation 3 x = 37,50
On divise les deux membres par
"3": =
D'où x =
12,50
Conclusion : le prix
d'un kilogramme de fruit est de 12,50 €
III.2.
résolution de l ’ équation du type : a x + b = c |
:i |
Avec b
> 0
Considérons l'équation
40 x + 80
= 360
Solution :
On ajoute " -
80" l'opposé de +80
dans les deux membres
40
x
+ 80 - 80 =
360 - 80
On effectue les calculs :
40 x + 0 = 280
soit 40 x = 280
On divise les deux membres par 40 :
Soit x = 7
La solution de l'équation
est le nombre :
7
Avec b
< 0
Considérons l'équation
40 x - 80
= 360
Solution :
On ajoute
" + 80" , qui est l'opposé de
- 80 ,dans les deux membres
41
x
- 80 + 80 =
360 + 80
On effectue les calculs :
40 x + 0 = 440
soit 40 x = 440
On divise les deux membres par 40 :
Soit x = 11
La solution de l'équation
est le nombre :
11
Résolution de l’équation de la forme : a x+ b = c |
"a" , "b" et "c" sont des nombres décimaux et "a" ¹ 0) admet
une solution unique Cette
solution est obtenue par deux
opérations : a) On ajoute aux deux membres l'opposé de "b" . ( on dit que si
"b" change de membre il change de signe ) b) on divise
les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" . |
Exemple de problème de la forme ax + b = c
On achète 3 kilogrammes de fruit ,
je donne un billet de 5 € , la caissière me rend 0,2 €
.Quel est le prix d' un kilogramme de fruit ?
On pose "x" le prix du
kilogramme de fruit.
Cela nous donne l'équation 3 x +
0,2 =
5
On joute "- 0,2" dans chaque membre :
3 x + 0,2
- 0,2 = 5 -
0,2
3 x = 4,8
On divise les deux membres par
"3": =
D'où x = 1,
60
Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit est de
1, 60 €
i9 |
IV. Résoudre un
problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré . |
:i |
Un problème posé par une situation, notamment commerciale ou
professionnelle, peut se traduire par une équation .
Procédure de résolution d’un problème |
¶ Choix de la
ou des inconnues : recherche de
l'inconnue : après
avoir lu et analysé l'énoncé , choisir
une inconnue. · Mise en équation : établir l'
équation traduisant la situation étudiée . ¸ Résolution de équation , ou d’un système d’équations du premier
degré à 1 ou 2 inconnues . ¹ Discussion du problème :
énoncer le résultat en rédigeant
une phrase et vérifier si ce résultat est conforme au problème
posé. |
Exemples
d’exercices résolus
Enoncé n°1 |
Solution |
Un rectangle a les
caractéristiques suivantes : Son périmètre
mesure 80 m ; sa longueur est
le triple de sa largeur . Calculer sa
longueur et sa largeur . |
Solution : ¶ Nommons "x" la largeur du rectangle . l = x · En fonction de "x" : la longueur du
rectangle est L = 3x le demi - périmètre est : L + l
= x +
3x = x ( 1 + 3) = 4 x le périmètre est = 2 fois le demi - périmètre : P = 2 ( 4x) = 8x ¸ Equation à résoudre : 80 = 8 x ( on divise par 8
les deux membres) on obtient x = 10 la largeur du rectangle est de 10 m ; la longueur du
rectangle est de 3 fois 10 m soit 30 m. ¹ Vérification : P rectangle = 2 ( L + l )
= 2 ( 30
+ 10 ) = 2 ( 40) = 80 |
Enoncé n°2 |
Solution |
Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme
est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre. |
Solution : ¶ On choisi "x" le premier nombre . · Les deux autres nombres sont "x + 2" et " (x+2) + 2 = x +4" l'énoncer se traduit par l'équation : x + (x+2)
+ (x +4) = 36 soit x + x +x +2 +
4 = 36 ; 3x + 6 = 36 ¸ Résolution
de l'équation : 3x + 6 = 36 ; ( on ajoute -6 aux deux membres) 3x + 6 - 6
= 36 - 6 ; 3x = 30 ( on divise les deux membres
par 3) x = 10 ¹ Conclusion : le premier nombre pair est "
10" le deuxième nombre est 10 + 2 soit 12 ; le troisième nombre est 12 + 2 =
14 vérification : 10 + 12 + 14 est bien égal à 36 ;
donc les trois nombres entiers pairs consécutifs sont 10 ; 12 ; 14 . |
Enoncé n°3 |
Solution |
Une ouvrière met 15 minutes pour usiner une pièce , pour
aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de
pièces peut-il usiner sur une semaine
de 35 heures ? Prendre "x" le nombre de pièces.( transformer la durée en nombre décimal) |
Solution ¶ L'inconnue est le nombre de pièces usinées. · On met le temps sous forme décimale : 15 mn = 0,
25 h : 3h 45 = 3, 75 h; 35 h ne change pas = 35 h Mise en équation : 0,25 x
+ 3,75 = 35 ¸ Résolution de l'équation : 0,25 x + 3,75 = 35 0,25 x = 35 - 3,75
( un terme change de membre il change de signe ) 0,25 x = 31,25 ( on divise 31,25 par 0,25 ) x = x = 125 ¹ Le nombre de pièces usiner en une semaine sera de 125
pièces |
Les travaux suivants peuvent aider à la compréhension .
ARITHMETIQUE :
Résolution graphique d’un problème du premier
degré :
Série 1 : Partage inégal
dont une part est multiple d’une autre Problème. Deux
personnes se partagent une
caisse de 4,8 kg de poisson. L’une, dont la famille est nombreuse, en prend
le triple de l’autre. Quelle est la
masse de chaque lot ? Ci dessous : on dessine la représentation graphique du partage . Le graphique montre que la caisse est partagée en 4
parts égales Une personne en prend une (1er lot); l’autre en prend 3 (2ème
lot) : Une part pèse 4,8 kg : 4 =
1,2 kg; c’est le 1er
lot Le 2ème
lot est triple du 1er
1,2 kg x 3 = 3,6 kg Vérifions ce que dit l’énoncé : 1°) le 2ème lot est-il le triple du 1er ? oui (3,6 kg = 1,2 kg
fois 3) 2°) les 2
lots pèsent-ils ensemble 4,8 kg ? oui (1,2 +
3,6 = 4,8) Pour chaque problème de partage : 1°) traduisez l’énoncé par un graphique complet; 2 °) vérifiez vos réponses. CALCULS : 1. Un costume coûte 432 € .
Le prix de la veste est le double du prix du pantalon. Quel est le prix de la
veste ? le prix du pantalon? 2. Une oie et un poulet pèsent ensemble 6,5 kg.
Le poids de l’oie est égal à 4 fois le poids du poulet. Combien pèse chacune
des deux volailles ? 3. Un champ rectangu1airQ~ mesure 168 m de périmètre et sa longueur est triple
de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ? 4. Deux coupons d’étoffe valant 12,50 € le mètre mesurent ensemble 27 m. La
longueur de l’un est double de celle de l’autre. Quelle est la valeur de
chaque coupon? 5. Une maison vaut 5 fois le prix d’un
champ; ensemble, ils valent 7 722 € . Voici la
solution d’un élève, pour calculer la valeur du champ, puis de la maison: 7722 € :5
= 1544,4 € ; 7722 € —1544,4 €
= 6177,6 € . Quelle est son
erreur ? Quelle vérification devrait la révéler ? Écrivez la solution
correcte. 6. Un cinéma compte 354 places : places de
parterre à 2,8 € la place et places de
balcon à 3,2 € . Le nombre des places de parterre
est double du nombre des places de balcon. Quel est le montant de la recette
quand toutes les places sont occupées? 7. Le produit de leur pêche est ainsi partagé entre
les membres de l’équipage d’un bateau : le mousse a une part, chacun des deux
matelots 2 parts, le patron 5 parts. Combien chacun a-t-il touché le jour où
le bateau est rentré avec 820 kg de poisson qui fut vendu à 1,35 € le kg? 8.
Caroline, Claire et Gabriel héritent
de leur oncle une somme de 950,4 € . La part de
Caroline est triple de celle de Claire
qui est elle-même la moitié de celle de Gabriel. Quelle est la part de
chacun ? SERIE 2 : Partage
inégal dont la Somme et différence
sont connues Problème. Julien et
Francine partagent 23 caramels,
et Francine en reçoit 5 de plus que Julien . Quelle est
la part de chacun ? Graphique
n°1 : il montre que : Somme -
différence = le double de la petite
part . la part de Julien (23 — 5
) 2 = 9 ; la
part de Francine 9 + 5 =
14 Vérification 9 + 14 =
23 Graphique n°2 ,
il montre que : Somme + différence
= le double de la grande part . Explications : La
part de Francine ( 23+ 5 ) :2= 14 ; la
part de Julien 14—
5 =
9 Vérification : 14 + 9
= 23 CALCULS : 1. Papa et Maman ont ensemble 57 ans. Maman a
5 ans de moins que Papa. Quel est leur âge? Comment se posera ce problème
dans 8 ans ? 2. Calculez deux
nombres dont la somme est 120, la différence 36. Vérifiez votre réponse en
partageant un segment de 120 mm en 2
segments dont l’un mesurera 36 mm de plus que l’autre. 3. Dessinez autant que vous voulez de
rectangles différents ayant pour côtés un nombre entier de cm, et 16 cm de
périmètre. Quel est celui qui a une longueur dépassant la largeur de 4 cm ? Y
en a-t-il d’autres ? 4. On demande de partager 240 € entre Annie et Sylvie, de façon que Sylvie
ait 30 € de moins qu’Annie. Voici les
réponses de trois élèves 1°
Annie 150 € 2° Annie 150 € 3°
Annie 135.€ Sylvie
120 € Sylvie 90
€ Sylvie
105 € Quelles vérifications prouvent que deux solutions
sont fausses ? Où est la bonne ? Comment
l’élève a-t-il compté ? 5. L’épicier
a acheté pour 35,70 € deux caisses de
pommes dont l’une pèse 6 kg de plus que l’autre. Les pommes valant 85 c le
kg, calculez la masse , puis le prix de chaque
cageot. 6. il
a fallu 632 m de fil de fer pour entourer d’un double rang un terrain
rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 29 m .
Quelles sont les dimensions du terrain? 7. Marine et
Michelle ont ensemble 84 € . Si Marine donne 8 €
à Michelle, elles auront autant l’une que l’autre. Combien chacune
a-t-elle? 8. Deux
péniches livrent ensemble 382 t de charbon à une usine à gaz. Quand on a
déchargé 29 t de l’une et 48 t de l’autre, elles contiennent la même masse
de charbon. Quelles questions posez-vous ? Répondez-y. 9. Un terrain à bâtir de 845 m² est partagé en deux parcelles
inégales, dont l’une mesure 75 m ² de plus que l’autre, a) Quelle
est la surface de chaque parcelle ? b) La différence
de prix des deux parcelles est 1 350 € . Quelle est
la valeur de chaque parcelle? |
FIN DU COURS.
Activités
« Elève » :en formation , demander les travaux auto- formatifs
préparant le devoir formatif .